Question

Sabendo que P(-2)=10 e que -1 é raiz de P(x)=x^3+8x^2-cx+d, encontre c e d.
TRABALHO DE ESCOLA VALENDO 100, ME AJUDEM PFVR

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anita, que a resolução é simples.

Tem-se: dado o polinômio P(x) = x³ + 8x² - cx + d, pede-se para determinar os valores de "c" e "d", sabendo-se que:

P(-2) = -10 e que "-1" é uma raiz de P(x).  Note que estamos, agora, considerando P(-2) igual a "-10",conforme está na "foto" anexada e não igual a "10" como você colocou na escrita da questão, certo? Por isso estamos editando a resposta.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se P(-2) é igual a "-10", então iremos no polinômio dado e substituiremos o "x" por "-2" e igualaremos P(x) a "-10". Assim, teremos:

-10 = (-2)³ + 8*(-2)² - c*(-2) + d
-10 = - 8 + 8*4 + 2c + d
-10 = - 8 + 32 + 2c + d
-10 = 24 + 2c + d ----- passando "24" para o 1º membro, teremos:
-10 - 24 = 2c + d
- 34 = 2c + d ---- vamos apenas inverter, ficando:
2c + d = - 34    . (I)

ii) Se "-1" é uma raiz do polinômio dado, então quando substituirmos o "x" por "-1" igualaremos P(x) a zero, pois toda raiz zera a equação da qual é raiz. Assim, teremos:

0 = (-1)³ + 8*(-1)² - c*(-1) + d
0 = - 1 + 8*1 + c + d
0 = - 1 + 8 + c + d
0 = 7 + c + d ----- passando "7" para o 1º membro, teremos:
- 7 = c + d ----- vamos apenas inverter, ficando:
c + d = - 7    . (II)

iii) Veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) que são estas:

2c + d = - 34      .(I)
c + d = - 7        . (II)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-1" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (I). Assim, teremos:

2c+d = -34 --- [esta é a expressão (I) normal]
-c - d =  7 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-1"]
----------------------- somando-se membro a membro, teremos:
c + 0 = - 27 ---- ou apenas:
c = - 27 <---- Este é o valor de "c".

Agora, para encontrar o valor de "d" vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "c" por "-7". Vamos na expressão (II), que é esta:

c + d = - 7 ------ substituindo-se "c" por "-7", teremos:
-27 + d = - 7
d = - 7 + 27
d = 20 <---- Este é o valor de "d".

iv) Assim, resumindo, temos que "c" e "d" têm os seguintes valores:

c = - 27; d = 20 <---- Esta é a resposta.

Note que considerando P(-2) = -10 (que deverá ser a escrita correta e não igual a "10" como você considerou) a nossa resposta "bateu" com o gabarito da questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.