Question

Sabendo que os princípios de Soma e Produto de uma equação quadrática do tipo ax² + bx + c = 0 são os seguintes:

Soma:
$\Large\text{ {x' + x" = \frac{-b}{a} } }$

Produto:
$\Large\text{ {x'\:.\:x" = \frac{c}{a} } }$


Prove que a seguinte sentença é verdadeira:
Sentença: "A soma dos inversos da raízes de uma função quadrática resulta na razão entre o oposto do coeficiente B com o coeficiente C da mesma".

Ou seja, em uma forma matemática, prove que a seguinte fórmula é verdadeira:
$\Large\text{ {\frac{1}{x'} + \frac{1}{x"} = \frac{-b}{c} } }$

Answer 1

$\cfrac{1}{x'} + \cfrac{1}{x"} \\\\= \cfrac{1 \cdot x"}{x' \cdot x"} + \cfrac{1 \cdot x'}{x" \cdot x'} \\\\= \cfrac{x"}{x'x"} + \cfrac{x'}{x'x"} \\\\= \cfrac{x' + x"}{x'x"}$

Que, conforme o enunciado (definições da soma e produto das raízes):

$= \cfrac{\cfrac{-b}{a} }{\cfrac{c}{a} }\\\\\\= \cfrac{-b}{a} \cdot \cfrac{a}{c} \\\\= \boxed{\cfrac{-b}{c} }$

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf x' + x'' = -\dfrac{b}{a}$

$\sf x' \:.\: x'' = \dfrac{c}{a}$

$\sf \dfrac{1}{x'} + \dfrac{1}{x''} = -\dfrac{b}{c}$

$\sf \dfrac{x' + x''}{x'\:.\:x''} = -\dfrac{b}{c}$

$\sf \left(-\dfrac{b}{a}\right).\left(\dfrac{a}{c}\right) = -\dfrac{b}{c}$

$\boxed{\boxed{\sf -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{b}{c}}}$