Question

Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão simultaneamente em PA e em PG, calcule x e y.

Preciso da resposta hoje.

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a sequência é ( 2, 2, 2 ) e os valores de x = 2 e y = 2.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: 2, \log\: x , \log\:y \:) }$

Solução:

Fazendo ㏒ x  = m e ㏒ y = n, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: 2, m , n \:) }$

Montando o sistema pela P. A e P . G e aplicando a propriedade média aritmética e a média geométrica.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \: \gets P. A } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \: \gets P.G }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m = \dfrac{2 +n }{2} \Rightarrow 2m = 2 +n \Rightarrow 2m-2 = n \\ \\ \sf m^{2} = 2 \cdot n \end{cases} } }$

Usando o método da substituição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m^{2} = 2 \cdot n } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m^{2} = 2 \cdot (2m-2) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m^{2} = 4m -4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m^{2} -4m + 4 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = (-4)^2 -\:4 \cdot 1 \cdot 4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 16 -\:16 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:(-4) \pm \sqrt{ 0 } }{2 \cdot 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{ 4 \pm 0 }{2 } \Rightarrow\begin{cases} \sf m_1 = &\sf \dfrac{4 + 0}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2 \\\\ \sf m_2 = &\sf \dfrac{4 - 0}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2\end{cases} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 2m -2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 2 \cdot 2-2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 4 - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ n = 2 }$

Voltando a condição:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log x = m }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log x = 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 10^2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 100 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log y = n }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log y =2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 10^2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 100 }$

Logo, a sequência é ( 2, 2, 2 ) e os valores de x = 2 e y = 2.

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51111386