Question

Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x2- 4x + 3 e g(x) = - x2- bx+c se intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b4c.

Answer 1

Olá!! Bom vamos lá! Podemos resolver a questão da seguinte forma:

  f(x) = x² - 4x + 3 

g(x) = - x ² - bx + c 


f(x) = x ² - 4x + 3 = 0 

f(x) intercepta o eixo y, quando x = 0. 

f(0) = 0 ² - 4(0) + 3 

f(0) = 3 

Como g(x) e f(x) interceptam-se no eixo y então, 

g(0) = 3 

g(0) = - 0 ² - b(0) + c 

3 = 0 - 0 + c 

c = 3, 

A função g(x) vai ser :

g(x) = - x ² - bx + 3 

Agora vamos usar a outra informação da questão; 

Se ambas se encontram em um ponto no eixo x então, uma das raízes deve ser comum a f(x) e g(x), 

Como temos a equação de f(x) ache as raízes de f(x), 

f(x) = x² - 4x + 3 

x ² - 4x + 3 = 0 

Δ = b ² - 4ac = (-4) ² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 

x = (4 ±√4)/2 

x = (4 ± 2)/2 

x ' = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3 

x " = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1 

Então,ou 1 ou 3 deverá ser raiz de g(x), 

g(x) = - x ² - bx + 3 

0 = - x ² - bx + 3 

Para x = 1, 

0 = - (1) ² - b(1) + 3 

0 = - 1 - b + 3 => b = 3 - 1 => b = 2 

Para x = 3, 

0 = -(3) ² - b(3) + 3 

0 = - 9 - 3b + 3 => 3b = 3 - 9 => 3b = - 6 => b = - 6/3 => b = - 2 

Logo, os valores de b serão: ± 2; c calculamos no início e obtivemos 3, 

Perceba que tanto 2^4 como (-2)^4 = 16 

b^4 * c = (± 2)^4 * c = 16 * 3 = 48

Espero ter ajudado em algo!