Question

Sabendo que os ângulos internos de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica ,determine a medida do menor ângulo em radianos.

Answer 1

Em um triângulo retângulo, sabemos que o maior ângulo é o de $\dfrac{\pi}{2} \text{ rad}$. Assim, é conveniente que este seja o último termo da P.G. (poderia ser o primeiro, mas resultaria em uma P.G. decrescente). Também sabemos que os outros dois ângulos são complementares (a soma destes é $\dfrac{\pi}{2} \text{ rad}$).

Então, temos a P.G. formada pelos ângulos positivos $\alpha$, $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ e $\dfrac{\pi}{2}$, onde $\alpha$ é o menor deles:

$\left(\alpha,\, \dfrac{\pi}{2}-\alpha,\, \dfrac{\pi}{2} \right )$


Devemos ter, então

$\dfrac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\alpha}=\dfrac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}-\alpha}\\ \\ \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right )^{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot \alpha\\ \\ \dfrac{\pi^{2}}{4}-\pi \alpha+\alpha^{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot \alpha\\ \\ \pi^{2}-4\pi\alpha+4\alpha^{2}=2\pi\alpha\\ \\ 4\alpha^{2}-6\pi\alpha+\pi^{2}=0\\ \\ \\ \Delta=\left(-6\pi \right )^{2}-4\cdot\left(4 \right )\cdot\left(\pi^{2} \right )\\ \\ \Delta=36\pi^{2}-16\pi^{2}\\ \\ \Delta=20\pi^{2}\\ \\ \Delta=4\pi^{2} \cdot 5\\ \\ \Delta=\left(2\pi)^{2}\cdot 5$

$\alpha=\dfrac{6\pi\pm\sqrt{\left(2\pi \right )^{2}\cdot 5}}{2 \cdot \left(4 \right )}\\ \\ \alpha=\dfrac{6\pi \pm 2\pi\sqrt{5}}{2 \cdot 4}\\ \\ \alpha=\dfrac{3\pi \pm \pi\sqrt{5}}{4}\\ \\ \alpha=\dfrac{\pi}{4}\left(3 \pm \sqrt{5} \right )\\ \\ \\ \boxed{\alpha_{1}=\dfrac{\pi}{4}\left(3+\sqrt{5} \right )\text{\;\;\;ou\;\;\;}\\ \\ \alpha_{2}=\dfrac{\pi}{4}\left(3-\sqrt{5}\right )}$


O outro ângulo é $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$:

$\dfrac{\pi}{2}-\alpha_{1}\\ \\ =\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\left(3+\sqrt{5}\right)\\ \\ =\dfrac{2\pi-\pi\left(3+\sqrt{5} \right )}{4} < 0\text{ (n\~{a}o serve)}\\ \\ \\ \dfrac{\pi}{2}-\alpha_{2}\\ \\ =\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\left(3-\sqrt{5}\right)\\ \\ =\dfrac{2\pi-\pi\left(3-\sqrt{5} \right )}{4} > 0\text{ (OK)}$


Logo, o menor ângulo é $\alpha=\dfrac{\pi}{4}\left(3-\sqrt{5}\right) \text{ rad}$.