Question

sabendo que o triângulo equilátero tem área igual à 49 raiz 3 cm2. qual a medida do lado e a altura desse triângulo?

Answer 1

Boa tarde,

Triângulo ABC equilátero

Donde AB = BC = CA , por definição de triângulo equilátero ( lados todos iguais)

Sempre que precisar usarei estes elementos. Chamar BC ou AB será a

mesma coisa pois têm a mesma dimensão.  ( 1 )

Neste triângulo ABC o vértice C está oposto à base AB

A altura tirada de C para AB vai dividir AB em duas partes iguais 

( isto acontece nos triângulos equiláteros e isósceles)

Vamos dizer que a altura encontra a base, AB ,  no ponto D.

CD será a ltura

O triângulo CDB é retângulo .

Os catetos são DB  e CD.

A hipotenusa será BC

Mas DB = AB/ / 2    e    BC = AB     por  ( 1 )

Pelo Teorema de Pitágoras 

CD ² + DB ² = BC ²

Usando o que atrás disse

CD ² + ( ( AB ) / 2 ) ²  = ( AB ) ²

não esquecer que  DB é metade de AB

e 

BC = AB ( triângulo equilátero )

continuando

CD ² + ( ( AB ) / 2 ) ²  = ( AB ) ²

⇔ CD ² = AB ² - ( AB ² ) / 4 

⇔  CD ² =  4 (AB ² ) / 4    -   ( AB ² ) / 4 

⇔ CD ² = 3/4 AB ² 

⇔ CD = √( 3 / 4 )  * √ ( AB ² )

⇔ CD = ( √3 ) / 2  *  AB                     ( 2 )

Sei a altura , CD e sei a base AB

Pela fórmula da área de um triângulo

Área = ( base  * altura ) /2

49 √3 = ( AB  * ( ( √3 ) /2  AB ) ) / 2

pela propriedade comutativa da multiplicação

49 √3 = ( ( √3 ) /2  * AB  *  AB ) / 2

multiplicando ambos os membros da equação por 2

98 √3 =  √3 / 2 * AB ²  

novamente multiplicando ambos os membros da equação por 2

⇔196 √3  = √3 * AB ²

dividindo ambos os membro por √3

⇔ 196 = AB ²

⇔ AB = +14      ou    AB   =  - 14 ( fora com esta solução; medida de lados
                                                         não pode ser negativa)

Sei a medida do lado do triângulo AB = 14 cm

Falta calcular a dimensão da altura;

mas CD ,   por conclusão  em ( 2)

é  

 CD = ( √3 ) /2  AB    

⇒ CD = ( √3 ) /2  * 14 

Simplificando, 14 / 2

⇔ CD = 7 √3 cm 

Resposta :

Cada lado tem 14 cm de dimensão

A altura mede 7√3 cm

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Verificação

Área = ( base * altura ) /2

⇔ Área = ( 14 * 7 √3 ) 2 
             
⇔ Área = 14 /2 * 7 √3       ( repare que 14 / 2 = 7 )

⇔ Área = 7 * 7 √3

⇔ Área = 49 √3  , correto e de acordo com o enunciado

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(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão   ;  ( ^) sinal de potência )+++++++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.Bom estudo