Question

Sabendo que o sen2a = 4/5, calcule tga + cotga. Não sei nem por onde começa, ajuda?

Answer 1

A solução está no anexo.

Answer 2

$sen2a = 2 *sena*cosa$, fórmula, caso queira a demonstração avise
$\frac{4}{5} = 2*sena*cosa$
$sena*cosa = \frac{2}{5}$ 
$(sena*cosa)^{2} = (\frac{2}{5})^{2}$
$sen^{2}a * cos^{2} = \frac{4}{25}$

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos:
$sen^{2}a + cos^{2}a = 1$
$cos^{2}a = 1 - sen^{2}a$

Substituindo a segunda equação na primeira, segue:
$sen^{2}a*(1 - sen^{2}a) = \frac{4}{25}$
$sen^{2}a - sen^{4}a = \frac{4}{25}$
$-sen^{4}a + sen^{2}a - \frac{4}{25} = 0 (-1)$
$sen^{4}a - sen^{2}a + \frac{4}{25} = 0$
 Isto é uma equação biquadrática, então, façamos sen^{2}a = n, sendo assim:
$n^{2} - n + \frac{4}{25} = 0$
Utilizaremos Bhaskara para resolver esta equação:
$n =\frac{ -(-1) \frac{+}{}\sqrt{(-1)^{2}-4*1*(\frac{4}{25})}}{2}$
$n = \frac{1 \frac{+}{}(\frac{3}{5})}{2}$
$n = \frac{8}{10}$
ou
$n = \frac{2}{10}$

Lembrando que:
$n = sen^{2}a$
Temos:
$sen^{2}a = \frac{2}{10}$
$sena = \frac{2\sqrt{5}}{10}$
$sena = \frac{\sqrt{5}}5{}$
ou
$sen^{2}a = \frac{8}{10}$
$sena = \frac{4\sqrt{5}}{10}$
$sen'a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Vamos testas os dois valores de sena para encontrarmos seus respectivos cos:
$sen^{2} + cos^{2} = 1$
$cosa = \sqrt{\frac{25 - 5}{25}}$
$cosa = \sqrt{\frac{20}{25}}$
$cosa = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
ou
$cosa = \sqrt{\frac{25 - 20}{25}}$
$cos'a = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Agora basta calcular a tga e tg'a:
$\frac{sena}{cosa} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
$tga = \frac{1}{2}$
ou
$\frac{sen'a}{cos'a} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$$tg' a = 2$

Do mesmo modo funcionará para a cotga:(porém inversamente)
$cotga = 2$
ou
$cotg'a = \frac{1}{2}$

No final das contas, somando tga + cotga ou tg'a + cotg'a, ambos os resultados serão 2,5.