Question

Sabendo que o polinômio tem como raízes -2 e -1. Encontre as demais raízes.
$x^4+\frac{7}{4}x^3-\frac{17}{8}x^2-\frac{29}{8}x-\frac{3}{4}=0$

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf x^4+\frac{7x {}^{3} }{4} - \frac{17x {}^{2} }{8}-\frac{29x}{8}-\frac{3}{4}=0$

Essa questão trata-se da aplicação do dispositivo Briot-ruffini, para não ter tanto trabalho vamos fazer uma mudança nessa expressão, pois do jeito que está será bem complicado o cálculo. Primeiramente vamos passar os termos que não possuem incógnita (x) para o outro lado:

$\sf x^4+\frac{7x {}^{3} }{4} - \frac{17x {}^{2} }{8}-\frac{29x}{8} = \frac{3}{4}$

Agora vamos tirar o mmc de todos os elementos:

$\sf MMC(4,8,1) = 8$

Colocando esse novo denominador e fazendo aquela regra de dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima.

$\sf \frac{8x {}^{4} + 14x {}^{2} - 17x {}^{2} - 29x }{8} = \frac{6}{8}$

Corta os denominadores "8":

$\sf 8x {}^{4} + 14x {}^{3} - 17x {}^{2} - 29x - 6 = 0$

Pronto, a equação está bem mais "simples". A questão diz que -2 e -1 são raízes dessa função e também pergunta as demais, para encontrá-las vamos usar o dispositivo Briot-ruffini.

$\begin{array}{c|c} - 1&8&14& - 17& - 29& - 6 \\ &8&6& - 23& - 6&0 \\ \\ \end{array} \\ 8x {}^{3} + 6x {}^{2} - 23x - 6 = 0$

Aplicando Briot-ruffini mais uma vez, só que a agroa com a segunda raiz:

$\begin{array}{c|c} - 2&8&6& - 23& - 6 \\ &8&10& - 3&0\end{array} \\ \\ 8x {}^{2} + 10x - 3 = 0$

Agora é só resolver essa equação do segundo grau e encontrar as duas últimas raízes, por motivos de temo deixarei apenas as raízes dessa equação do segundo grau:

$\sf 8x {}^{2} + 10x - 3 = 0\Longrightarrow\begin{cases} \sf x_3= - \frac{1}{4} \\ \sf x_4 = \frac{3}{2} \end{cases}$

Portanto todas as raízes são:

$\sf S= \left\{ - 2 , \: - 1, \: - \frac{1}{4} \: \: e \: \: \frac{3}{2} \right\}$

Espero ter ajudado