Sabendo que o gráfico da função f passa pelo ponto (0,8) e que a inclinação de sua reta tangente no ponto (x, f(x)) é 9-1x, determine f(8).
Soluções para a tarefa
Pelos cálculos realizados, podemos concluir que a função primitiva quando x = 8, possui o y sendo 48.
Explicação
A questão nos diz que a inclinação da reta tangente a uma certa curva, que passa por um ponto é dada por . Logo em seguida pergunta qual o valor de , isto é, o valor obtido quando substituímos x = 8 na curva que deu origem a inclinação desta reta tangente.
- Função Primitiva:
A função primitiva é basicamente a função que deu origem a uma certa derivada. Para descobrimos esta função, basta utilizarmos a integral, pois como sabemos, a integral é o inverso da derivada. Digamos que f(x) seja uma derivada, então:
.
Aplicando esta ideia na nossa questão, podemos encontrar a equação da curva que deu origem a inclinação da reta tangente, uma vez que a inclinação da reta tangente é simplesmente a derivada de uma curva.
Integrando ambos os lados desta relação:
De acordo com as integrais imediatas, sabemos que:
.
Vale ressaltar também a propriedade que fala que a integral da soma é igual a soma das integrais.
Aplicando estas informações no cálculo:
Assim como nos limites e nas derivadas, a constante possui a propriedade de livre trânsito na integral.
.
A propriedade citada aplica-se na primeira integral desta nossa expressão:
A última propriedade que deve ser ressaltada é a da potência de integrais, semelhante a regra do monômio das derivadas, mas só invés de subtrair fazemos uma soma do expoente.
Utilizando a propriedade para encontrar a resolução da integral restante, ficamos com:
Agora vamos utilizar a informação de que o gráfico da função f(x) que é a mesma coisa que y, passa pelo ponto P(0,8), onde podemos substituir estes dados na relação de y encontrada logo acima e determinar o valor da constante, pois assim obteremos a solução particular.
Portanto a curva original é dada por:
Para finalizar basta encontrarmos f(8) que é a mesma coisa do valor de y quando x = 8.
Espero ter ajudado
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a(t) =2sen(t) + 10cos(t)
e que a posição inicial do corpo (em m) e sua velocidade inicial (em m/s) são, respectivamente, 3m e 4m/s, determine a posição do corpo (em m) quando t = 6(pi)s
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