Question

Sabendo que o gráfico da função f passa pelo ponto (0,8) e que a inclinação de sua reta tangente no ponto (x, f(x)) é 9-1x, determine f(8).

Answer 1

Pelos cálculos realizados, podemos concluir que a função primitiva quando x = 8, possui o y sendo 48.

Explicação

A questão nos diz que a inclinação da reta tangente a uma certa curva, que passa por um ponto $\bf Q(x,f(x))$ é dada por $\bf \frac{dy}{dx}= 9 - 1x$. Logo em seguida pergunta qual o valor de $f(8)$, isto é, o valor obtido quando substituímos x = 8 na curva que deu origem a inclinação desta reta tangente.

• Função Primitiva:

A função primitiva é basicamente a função que deu origem a uma certa derivada. Para descobrimos esta função, basta utilizarmos a integral, pois como sabemos, a integral é o inverso da derivada. Digamos que f(x) seja uma derivada, então:

$\int f(x) dx =F(x) +C,\: C\in \mathbb{R}$.

Aplicando esta ideia na nossa questão, podemos encontrar a equação da curva que deu origem a inclinação da reta tangente, uma vez que a inclinação da reta tangente é simplesmente a derivada de uma curva.

$\frac{dy}{dx} = 9 - x \: \: \to \: \: dy = 9 - x \: dx$

Integrando ambos os lados desta relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int dy = \int9 - x dx$

De acordo com as integrais imediatas, sabemos que:

$\int dx= x +C, \: C\in\mathbb{R}$.

Vale ressaltar também a propriedade que fala que a integral da soma é igual a soma das integrais.

$\: \int(f(x) + g(x))dx = \int f(x) dx+ \int g(x)dx$

Aplicando estas informações no cálculo:

$\: \: \: \: \: y + C = \int 9dx - \int xdx$

Assim como nos limites e nas derivadas, a constante possui a propriedade de livre trânsito na integral.

$\int k.f(x) dx=k\int f(x) dx$.

A propriedade citada aplica-se na primeira integral desta nossa expressão:

$\: \: \: \:\: \:\:\:\:y + C = 9 \int dx - \int xdx \\ \\ \: \: \: \:\:\: y + C = 9x - \int xdx$

A última propriedade que deve ser ressaltada é a da potência de integrais, semelhante a regra do monômio das derivadas, mas só invés de subtrair fazemos uma soma do expoente.

$\: \: \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + C , \: C \in \mathbb{ R }$

Utilizando a propriedade para encontrar a resolução da integral restante, ficamos com:

$y + C = 9x - \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + C \\ \\ y = 9x - \frac{x {}^{2} }{2} + \underbrace{ C - C }_{C _{1}} \\ \\ \boxed{y = 9x - \frac{x {}^{2} }{2} + C _{1}}$

Agora vamos utilizar a informação de que o gráfico da função f(x) que é a mesma coisa que y, passa pelo ponto P(0,8), onde podemos substituir estes dados na relação de y encontrada logo acima e determinar o valor da constante, pois assim obteremos a solução particular.

$8 = 9.0 - \frac{0}{2} + C _{1} \: \: \to \: \: \boxed{C _{1} = 8 }$

Portanto a curva original é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y = 9x - \frac{x {}^{2} }{2} + 8$

Para finalizar basta encontrarmos f(8) que é a mesma coisa do valor de y quando x = 8.

$y = 9.8 - \frac{8 {}^{2} }{2} + 8 \: \: \to \: \: \boxed{\bf y = 48}$

Espero ter ajudado

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