Matemática, perguntado por cassiohpm, 4 meses atrás

Sabendo que o gráfico da função f passa pelo ponto (0,8) e que a inclinação de sua reta tangente no ponto (x, f(x)) é 9-1x, determine f(8).

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
8

Pelos cálculos realizados, podemos concluir que a função primitiva quando x = 8, possui o y sendo 48.

Explicação

A questão nos diz que a inclinação da reta tangente a uma certa curva, que passa por um ponto \bf Q(x,f(x)) é dada por \bf \frac{dy}{dx}= 9 - 1x\\. Logo em seguida pergunta qual o valor de f(8), isto é, o valor obtido quando substituímos x = 8 na curva que deu origem a inclinação desta reta tangente.

  • Função Primitiva:

A função primitiva é basicamente a função que deu origem a uma certa derivada. Para descobrimos esta função, basta utilizarmos a integral, pois como sabemos, a integral é o inverso da derivada. Digamos que f(x) seja uma derivada, então:

  \int f(x) dx =F(x) +C,\: C\in \mathbb{R}\\.

Aplicando esta ideia na nossa questão, podemos encontrar a equação da curva que deu origem a inclinação da reta tangente, uma vez que a inclinação da reta tangente é simplesmente a derivada de uma curva.

  \frac{dy}{dx}  = 9 - x  \:  \:  \to \:  \: dy = 9 - x \: dx\\

Integrando ambos os lados desta relação:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \int dy =  \int9 - x dx \\

De acordo com as integrais imediatas, sabemos que:

 \int dx= x +C, \: C\in\mathbb{R} \\.

Vale ressaltar também a propriedade que fala que a integral da soma é igual a soma das integrais.

  \: \int(f(x)  +  g(x))dx =  \int f(x) dx+ \int g(x)dx \\

Aplicando estas informações no cálculo:

 \:  \:  \:  \:  \: y + C =  \int 9dx -  \int xdx    \\

Assim como nos limites e nas derivadas, a constante possui a propriedade de livre trânsito na integral.

\int k.f(x) dx=k\int f(x) dx\\ .

A propriedade citada aplica-se na primeira integral desta nossa expressão:

 \:  \:  \:  \:\:  \:\:\:\:y + C = 9 \int dx -  \int xdx \\  \\  \:  \:  \:  \:\:\: y + C = 9x  -  \int xdx

A última propriedade que deve ser ressaltada é a da potência de integrais, semelhante a regra do monômio das derivadas, mas só invés de subtrair fazemos uma soma do expoente.

 \:  \: \int  x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1}  + C ,  \: C \in \mathbb{ R } \\

Utilizando a propriedade para encontrar a resolução da integral restante, ficamos com:

y + C = 9x -   \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1}  + C  \\  \\ y   = 9x -  \frac{x {}^{2} }{2}  +  \underbrace{ C - C }_{C _{1}} \\  \\  \boxed{y = 9x -  \frac{x {}^{2} }{2}  + C _{1}}

Agora vamos utilizar a informação de que o gráfico da função f(x) que é a mesma coisa que y, passa pelo ponto P(0,8), onde podemos substituir estes dados na relação de y encontrada logo acima e determinar o valor da constante, pois assim obteremos a solução particular.

8 = 9.0 -  \frac{0}{2}  + C _{1} \:  \:  \to \:  \:  \boxed{C _{1} = 8 }\\

Portanto a curva original é dada por:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \: y = 9x -  \frac{x {}^{2} }{2}  + 8 \\

Para finalizar basta encontrarmos f(8) que é a mesma coisa do valor de y quando x = 8.

y = 9.8 -  \frac{8 {}^{2} }{2}  + 8 \:  \:  \to \:  \:   \boxed{\bf y = 48} \\

Espero ter ajudado

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cassiohpm: Muito obrigado ajudou de mais agradeço ter tirado um tempinho pra poder me ajudar , ❤️❤️❤️
Vicktoras: Por nada, qualquer coisa só falar
cassiohpm: Tenho um última questão você pode ajuda ou achar que vai te atrapalhar ???
cassiohpm: Sabendo que a aceleração (em m/s²) de um corpo em um instante t (em s) é dada por

a(t) =2sen(t) + 10cos(t)

e que a posição inicial do corpo (em m) e sua velocidade inicial (em m/s) são, respectivamente, 3m e 4m/s, determine a posição do corpo (em m) quando t = 6(pi)s

Quem puder ajudar
cassiohpm: Essa é a questão de puder vou ficar agradecido mais uma vez
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