Matemática, perguntado por deb116, 10 meses atrás

Sabendo que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial, determine uma base
para o conjunto solução do sistema linear seguinte:
x+y+z=0
2×-y-3z=0
×-2y-4z=0​
Alguém pode me ajudar?

Anexos:

deb116: Essa tá muito difícil, me ajudem!

Soluções para a tarefa

Respondido por silvageeh
6

Uma base para o conjunto solução do sistema linear é {(2/3,-5/3,1)}.

Vamos resolver o sistema linear.

Da primeira equação, podemos dizer que y = -x - z.

Substituindo o valor de y na segunda equação:

2x - (-x - z) - 3z = 0

2x + x + z - 3z = 0

3x - 2z = 0

3x = 2z

x = 2z/3.

Então, o valor de y em função de z é:

y = -2z/3 - z

y = -5z/3.

Substituindo os valores de x e y na terceira equação:

2z/3 - 2(-5z/3) - 4z = 0

2z/3 + 10z/3 - 4z = 0

12z/3 - 4z = 0

4z - 4z = 0

0 = 0.

Ou seja, o sistema é possível e indeterminado: possui infinitas soluções.

Então, o conjunto solução do sistema pode ser S = {z ∈ IR / (2z/3, -5z/3, z)}.

Perceba que (2z/3, -5z/3, z) = z(2/3,-5/3,1).

O enunciado nos informa que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.

A base de um subespaço é formada por vetores linearmente independentes.

Assim, de (2z/3, -5z/3, z) = z(2/3,-5/3,1) podemos dizer que uma base é B = {(2/3,-5/3,1)}.


elainebuchi: não entendi porque a função y = 2z/3 -z = 5z/3, alguem poderia explicar por favor
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