Question

Sabendo que o campo vetorial dado pela função F(x,y) = 2xy³i +(1+3x²y²)j é conservativo, determine a função potencial.

Answer 1

Fazendo a integração de componentes do campo vetorial conservativo, temos que nosso potencial escalar é dado por:

$U=x^2y^3+y+k$

Explicação passo-a-passo:

Se uma função é conservativa ela pode ser escrita como:

$\vec{F}(x,y,z)=\vec{\nabla}U(x,y,z)$

Onde U é uma função escalar potencial.

Então separando os componentes de U e F:

$\frac{dU}{dx}=2xy^3$

$\frac{dU}{dy}=1+3x^2y^2$

Sendo assim vamos integrar a primeira equação em x:

$\frac{dU}{dx}=2xy^3$

$U=x^2y^3+C(y)$

Onde C é uma constante de integração, que pode depender de y, pois como integramos em x, não sabemos a procedência desta constante, mas ainda precisamos descobrir esta constante.

Então vamos derivar este potencial em y e comparar com o termo em y da função F:

$U=x^2y^3+C(y)$

$\frac{dU}{dy}=3x^2y^2+C'(y)$

$\frac{dU}{dy}=3x^2y^2+C'(y)=1+3x^2y^2$

Comparando as duas vemos que C' tem que ser igual a 1:

$C'(y)=1$

Integrando em y:

$C(y)=y+k$

Onde k é uma constante de integração. Assim nosso potencial fica:

$U=x^2y^3+y+k$

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