Question

Sabendo que n ∈ N*, resolva a equação : log [(n-1)!] + log(n)! + logn = log(24+23n!)

Resposta-> n=4

Answer 1

log(n - 1)! + lgn! + logn = log(24 + 23n!)

log(n - 1)!.n!.n = log(24 + 23n!)

logn(n - 1)! . n! = log(24 + 23n!)

Perceba que n(n - 1)! = n!

logn!.n! = log(24 + 23n!)

log(n!)² = log(24 + 23n!)

Podemos agora comparar os logaritmandos.

(n!)² = 24 + 23n!

(n!)² - 23n!- 24 = 0

Fazendo n! = x, vem
x² - 23x - 24 = 0

Δ = (-23)² -4.1.(-24)

Δ = 529 + 96 => Δ = 625

x = (23 - 25)/2 = -1(não serve, pois x = n! = -1, nâo existe fatorial de número negativo). ou

x = (23 + 25)/2 => x = 48/2 => x = 24

Como n! = x => n! = 24 =>  n! = 4! => n = 4