Question

Sabendo que medida em centímetros da base de um retângulo é a soma de um número real com seu inverso. A da altura é a diferença entre o mesmo número e seu inverso. Qual é esse número se a área do retângulo é de 4,8 cm²?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cintita, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se a base do retângulo, em centímetros, é dada pela soma de um número real com o seu inverso, então teremos que a base (b) será o número real "x" mais o seu inverso (1/x). Assim:

b = x + 1/x ----- mmc = x. Assim, utilizando-o, teremos;
b = (x²+1)/x  <--- Esta é a base do retângulo da sua questão.

ii) Se a sua altura é a diferença entre esse mesmo número e seu inverso, então teremos para a altura (h):

h = x - 1/x----- mmc = x. Assim :
h = (x² - 1)/x <--- Esta é a altura do retângulo da sua questão.

iii) Agora vamos para a área desse retângulo que dada por base vezes altura. Assim, teremos;

A = b*h --- substituindo-se "b" por (x²+1)/x e "h" por (x²-1)/x, teremos:
A = [(x²+1)/x]*[(x²-1)/x] ---- como o enunciado da questão já deu o valor da área, que é de 4,8 cm² , teremos:

4,8 = [(x²+1)/x]*[(x²-1)/x] --- ou, o que é a mesma coisa:
4,8 = (x²+1)*(x²-1)/x*x --- ou:
4,8 = (x²+1)*(x²-1)/x² ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4,8x² = (x²+1)*(x²-1) ----- note que este produto dá "x⁴ - 1". Assim:
4,8x² = x⁴ - 1 ---- passando "4,8x²" para o 2º membro, temos:
0 = x⁴ - 1 - 4,8x² --- ordenando e invertendo, ficaremos com:
x⁴ - 4,8x² - 1 = 0 ---- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos:
y² - 4,8y - 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

y' = - 0,2
y'' = 5

iv) Mas veja que fizemos x² = y. Então teremos:

iv.a) Para y = - 0,2, teremos;

x² = - 0,2 <--- Impossível. Não existe nenhum número real que, quando estiver ao quadrado, resulte num número negativo. Logo, descartaremos a raiz "-0,2".

iv.b) Para y = 5, teremos:

x² = 5
x = ± √(5) ---- como o número não pode ser negativo, pois não existe medida negativa para o lado de um retângulo (nem para a base nem para a altura), então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

x = √(5) cm  <--- Esta é a resposta. Ou seja, este deverá ser o valor do número cuja soma com seu inverso e cuja diferença com o seu inverso dá a base e a altura, respectivamente, do retângulo da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade:

- a soma de √(5) com o seu inverso (1/√(5) ) dá exatamente igual a 6√(5)/5 (após fazermos a devida racionalização). E a diferença de √(5) com o seu inverso (1/√(5) dá exatamente igual a 4√(5)/5, também após fazermos a devida racionalização. Agora veja como esses dois números (base e altura) irão fornecer uma área (A) exatamente igual a "4,8" cm². Veja:

A = 6√√(5)/5 * 4√(5)/5
A = 24*√(5)*√(5) / 5*5
A = 24*√(5*5) / 25
A = 24*√(25) / 25 ---- note que √(25) = 5. Assim:
A = 24*5 / 25 ---- note que 24*5 = 120. Logo:
A = 120/25 ---- note que esta divisão dá exatamente "4,8". Logo:
A = 4,8 cm² <--- Olha aí como é verdade mesmo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Dados:
base: x + 1/x
altura: x - 1/x
área = 4,8
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Fórmula da área do retângulo:
A = base x altura

4,8= (x + 1/x) . (x - 1/x) 
4,8 = x² - 1/x²

MMC = x²
4,8x² = x⁴ - 1
x⁴ - 4,8x² - 1 = 0
y = x²  ou x = √y

y² - 4,8y - 1 = 0
Δ = 27,04

         4,8 + √27,04               4,8 + 5,2                 10
y' = --------------------- ∴ y' = ----------------- ∴ y' = ---------- ∴ y' = 5
               2.1                             2                         2

          4,8 - 5,2                   - 0,4
y'' = ------------------ ∴ y'' = ---------- ∴ y'' = - 0,2 (não serve por ser negativo)
              2                              2     
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Achando x:
x = √y
x = √5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resposta:
x = √5 cm