Question

Sabendo que log_30 3 = a e que log_30 5 = b, calcule log 2.

Answer 1

$log~2=log_{10}(2)$

Mudando a base para 30:

$log~2=\dfrac{log_{30}(2)}{log_{30}(10)}$
_____________________

Achando log de 2 na base 30:

$log_{30}(2)=log_{30}(30/15)\\log_{30}(2)=log_{30}(30/[3\cdot5])\\log_{30}(2)=log_{30}(30)-log_{30}(3)-log_{30}(5)\\log_{30}(2)=1-a-b$

Achando log de 10 na base 30:

$log_{30}(10)=log_{30}(30/3)\\log_{30}(10)=log_{30}(30)-log_{30}(3)\\log_{30}(10)=1-a$
_____________________

$log~2=\dfrac{log_{30}(2)}{log_{30}(10)}\\\\\\log~2=\dfrac{1-a-b}{1-a}\\\\\\log~2=\dfrac{1-a}{1-a}-\dfrac{b}{1-a}\\\\\\\boxed{\boxed{log~2=1-\dfrac{b}{1-a}}}$

Answer 2

O valor de log(2) é $\frac{1-a-b}{1-a}$

Quando a base do logaritmo não aparece, significa que a base é 10. Sendo assim, podemos escrever log(2) = log₁₀(2).

Primeiramente, vamos fazer a mudança de base de log₁₀(2).

Para isso, observe que: $log_b(a)=\frac{log_c(a)}{log_c(b)}$.

Vamos considerar que a base é 30. Então, podemos afirmar que:

$log_{10}(2)=\frac{log_{30}(2)}{log_{30}(10)}$.

Sabemos que 30/15 = 2 e que 30/3 = 10. Então, vamos reescrever o logaritmo acima:

$log_{10}(2)=\frac{log_{30}(\frac{30}{15})}{log_{30}(\frac{30}{3})}$.

Quando temos uma divisão no logaritmando, vale a seguinte propriedade: $log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c)$.

Assim,

$log_{10}(2)=\frac{log_{30}(30)-log_{30}(15)}{log_{30}(30)-log_{30}(3)}$.

Se o logaritmando é igual a base, então o resultado é igual a 1.

Além disso, o enunciado nos diz que log₃₀(3) = a e log₃₀(5) = b.

Perceba que 15 = 3.5.

Sendo assim, log₃₀(15) = log₃₀(3.5) = log₃₀(3) + log₃₀(5) = a + b (propriedade da soma de logaritmos de mesma base).

Portanto, o valor de log₁₀(2) é igual a:

$log_{10}(2)=\frac{1-(a+b)}{1-a}$

$log_{10}(2)=\frac{1-a-b}{1-a}$.

Para mais informações sobre logaritmo, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18944643