Question

sabendo que g(f(x))=(x-1)/(x+1) e ques g^-1(x)=(2x+1)/(1-x) determine f(x)

Answer 1

Oie
temos a função:

g-¹(x)=(2x+1)/(1-x)

substitua g-¹ por y

y=(2x+1)/(1-x)

passe o denominador para o outro lado da igualdade multiplicando:

y.(1-x)=2x+1

y-xy=2x+1
Como nosso objetivo é achar o x,passe o ''y'' para o outro lado e fique somente com termos que possuam ''x''
 
-xy-2x=1-y

Multiplicando por (-1),teremos:

xy+2x=-1+y
xy+2x=y-1 <-------- coloque o fator ''x'' em evidência:
x.(y+2)=y-1
x=(y-1)/(y+2)

como a fórmula tem que ser escrita em função de y,troque as letras:

y=(x-1)/(x+2)
Logo,
g(x)=(x-1)/(x+2)

g(f(x)) ---> substitua f(x) por x

Como não sabemos a função,escreva apenas f(x)

Colocando f(x) no lugar de x,fica:

g(f(x))=[f(x)-1]/[f(x)+2]

como g(f(x))=(x-1)/(x+1)

(x-1)/(x+1)=[f(x)-1]/[f(x)+2]

Multiplique ''em cruz''

(x-1).[f(x)+2]=(x+1).[f(x)-1] <--- aplicando a propriedade distributiva para ambos,temos:

xf(x)+2x-f(x)-2=xf(x)-x+f(x)-1

Anulando xf(x) de um lado com xf(x) do outro,ficamos:

2x-f(x)-2=-x+f(x)-1

Para anularmos o (-2) do lado esquerdo,some +2.Porém,como é uma igualdade,deve-se somar do outro lado também:

2x-f(x)-2+2=-x+f(x)-1+2
2x-f(x)=-x+f(x)+1

Para anular +2x,subtraia 2x dos dois lados:
2x-f(x)-2x=(-x+f(x)+1)-2x
-f(x)=-x+f(x)+1-2x
-f(x)=-3x+f(x)+1

passando f(x) para o outro lado,ficamos com:

-f(x)-f(x)=-3x+1
-2f(x)=-3x+1 <--------- multiplicando tudo por (-1)
2f(x)=3x-1
f(x)=(3x-1)/2 <------------- Essa é a resposta!

Um abraço e boa tarde.