Question

Sabendo que cosx= 4/5, qual é o valor de sen2x?

Answer 1

Vamos relembrar algumas relações da trigonometria

1) Arco dobro do Seno

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).Cos(x) }$

2) Relação fundamental ta trigonometria.

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 }$

sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos pede Sen(2x) e nos informa que :

$\fbox{\displaystyle Cos(x) = \frac{4}{5} }$

Vamos aplicar o arco dobro do Seno

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).Cos(x) }$

Substituindo o valore do cos(x)

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).\frac{4}{5} }$

Agora só precisamos achar o sen(x). Para isso vamos usar a relação fundamental da trigonometria.

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 }$

substituindo o valor de Cos(x)

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + (\frac{4}{5})^2= 1 \to Sen^2(x) + \frac{16}{25} = 1 }$

isolando o sen(x)

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + \frac{16}{25} = 1 \to Sen^2(x) = 1 - \frac{16}{25} \to Sen^2(x) = \frac{25-16}{25} \to Sen^2(x) = \frac{9}{25} }$

tirando a raiz quadrada dos dois lados :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \to Sen(x) = \frac{3}{5} }$

( Como a questão não fala em que quadrante o ângulo x está.. vamos pegar o valor positivo )

Agora vamos voltar na relação do arco dobro do Seno e substituir.

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).\frac{4}{5} }$

substituindo o valore de sen(x)

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} \to Sen(2x) = \frac{24}{25} }$

Existe outro modo de resolver essa questão.

Lembrando do triângulo pitagórico, sabemos que os seus lados são :3,4 e 5. Sendo 5 a hipotenusa ( obviamente por ser o maior lado)

Lembrando que :

$\fbox{\displaystyle Cosseno = \frac{Cateto \ adjacente }{hipotenusa } }$

$\fbox{\displaystyle Seno = \frac{cateto \ oposto}{hipotenusa } }$

E olha que bacana.. aparece um 4 e um 5 no cosseno do ângulo.

$\fbox{\displaystyle Cos(x) = \frac{4}{5} }$

Se 4 é o cateto adjacente, logo 3 é o cateto oposto e, 5 é a hipotenusa.

portanto o seno(x) ficaria assim :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{3}{5} }$

e a partir disso seria só substituir os valores de Sen(x) e Cos(x) na relação do arco dobro do seno. Assim :

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).Cos(x) }$

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} \to Sen(2x) = \frac{24}{25} }$

(imagem para melhor compreensão)