Question

Sabendo que cos x = 12/13 e 0 < x < pi/2, calcule tg x

Answer 1

Sabemos que

    $\mathsf{tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\left(\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{sen^2\,x}{cos^2\,x}}$

Mas podemos substituir sen² x = 1 − cos² x:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-cos^2\,x}{cos^2\,x}}$

Agora, substitua o valor de cos x = 12/13 acima:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-(\frac{12}{13})^2}{(\frac{12}{13})^2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-\frac{144}{169}}{\frac{144}{169}}}$

Multiplique o numerador e o denominador por 169 para simplificar o lado direito:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{(1-\frac{144}{169})\cdot 169}{\frac{144}{169}\cdot 169}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1\cdot 169-\frac{144}{169}\cdot 169}{\frac{144}{169}\cdot 169}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{169-144}{144}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{25}{144}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{25}{144}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\dfrac{5}{12}}$

Como $\mathsf{0<x<\dfrac{\pi}{2},}$  ou seja, x é um arco do 1º quadrante, então a tangente é positiva:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad tg\,x=\dfrac{5}{12}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)