Matemática, perguntado por gv45113, 11 meses atrás

Sabendo que cos x = 12/13 e 0 < x < pi/2, calcule tg x

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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Sabemos que

    \mathsf{tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}}

Eleve os dois lados ao quadrado:

    \mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\left(\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{sen^2\,x}{cos^2\,x}}

Mas podemos substituir sen² x = 1 − cos² x:

    \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-cos^2\,x}{cos^2\,x}}

Agora, substitua o valor de cos x = 12/13 acima:

    \mathsf{\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-(\frac{12}{13})^2}{(\frac{12}{13})^2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1-\frac{144}{169}}{\frac{144}{169}}}

Multiplique o numerador e o denominador por 169 para simplificar o lado direito:

    \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{(1-\frac{144}{169})\cdot 169}{\frac{144}{169}\cdot 169}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{1\cdot 169-\frac{144}{169}\cdot 169}{\frac{144}{169}\cdot 169}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{169-144}{144}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{25}{144}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{25}{144}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\dfrac{5}{12}}

Como \mathsf{0&lt;x&lt;\dfrac{\pi}{2},}  ou seja, x é um arco do 1º quadrante, então a tangente é positiva:

    \mathsf{\Longrightarrow\quad tg\,x=\dfrac{5}{12}\quad\longleftarrow\quad resposta.}

Bons estudos! :-)

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