Question

Sabendo que cos^2x+sen^2x=1 é uma das principais funções utilizadas na trigonometria para encontrar todas as demais funções trigonométricas. Sendo assim tempo ponto de partida para a descoberta do sen x, cos x e tg x. Tendo cos x=5/13 mostre através de cálculos que é possível calcular as demais funções citadas no enunciado
Me ajudem pfvrrr

Answer 1

Resposta:  sen x = ± 12/13   e   tg x = ± 12/5.

Explicação passo a passo:

Dado cos x = 5/13, encontrar os valores de sen x e tg x:

    $\cos x=\dfrac{5}{13}\\\\\\\Longrightarrow\quad 13\cos x=5$

Eleve ambos os lados ao quadrado:

    $\Longrightarrow \quad (13\cos x)^2=5^2\\\\\\\Longrightarrow \quad 169\cos^2 x=25$

Substitua cos² x por 1 − sen² x:

    $\Longrightarrow\quad 169\cdot (1-\mathrm{sen^2}\,x)=25\\\\\Longrightarrow\quad 169-169\,\mathrm{sen^2}\,x=25\\\\\Longrightarrow\quad 169\,\mathrm{sen^2}\,x=169-25\\\\\Longrightarrow\quad 169\,\mathrm{sen^2}\,x=144\\\\\Longrightarrow\quad \mathrm{sen^2}\,x=\dfrac{144}{169}$

    $\Longrightarrow\quad \mathrm{sen\,}x=\pm\,\sqrt{\dfrac{144}{169}}\\\\\\\Longrightarrow\quad \mathrm{sen\,}x=\pm\,\dfrac{12}{13}\qquad \checkmark$

Para determinar o sinal de sen x, precisamos saber a qual quadrante x pertence. Como cos x é positivo, x pode ser ou do 1º quadrante ou do 4º quadrante.

Se x for do 1º quadrante, então $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{12}{13}.$

Se x for do 4º quadrante, então $\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{12}{13}.$

Calculando tg x:

    $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\\\\\\Longrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\dfrac{~\pm \frac{12}{13}~}{\frac{5}{13}}\\\\\\\Longrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\pm\,\dfrac{12}{13}\cdot \dfrac{13}{5}\\\\\\\Longrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\pm\,\dfrac{12}{5}\qquad\checkmark$

Se x for do 1º quadrante, então $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{12}{5}.$

Se x for do 4º quadrante, então $\mathrm{tg\,}x=-\,\dfrac{12}{5}.$

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Bons estudos!