Question

Sabendo que as relações expressas na figura abaixo , o valor de Sen θ é:​

Answer 1

$\large \sf sen \ \theta = \dfrac{ \sqrt3}{3} -\dfrac{\sqrt6 }{6}$  ou  $\large \sf sen \ \theta = -\dfrac{ \sqrt3}{3} -\dfrac{\sqrt6 }{6}$

• Isole cos θ na primeira relação, eleve ambos os membros ao quadrado e substitua na segunda relação.

$\large \sf cos \ \theta -sen \ \theta = \dfrac{\sqrt 6}{3}$

$\large \sf cos \ \theta = \dfrac{\sqrt 6}{3} + sen \ \theta$

$\large \sf cos^2 \theta = \left( \dfrac{\sqrt 6}{3} + sen \ \theta \right)^2$

$\large \sf cos^2\theta = \dfrac{6}{9} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt 6}{3} \cdot sen \ \theta+ sen^2\theta$

$\large \sf cos^2\theta = \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt 6}{3} \cdot sen \ \theta+ sen^2\theta$

• Substitua o valor de cos²θ na segunda equação.

sen²θ + cos²θ = 1

$\large \sf sen^2\theta + \left( \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt 6}{3} \cdot sen \ \theta+ sen^2\theta \right) = 1$

• Considere sen θ = x e substitua na equação anterior.

$\large \sf x^2 + \left( \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt 6}{3} \cdot x+ x^2 \right) = 1$

$\large \sf 2x^2 + \dfrac{2\sqrt 6}{3} \cdot x+ \dfrac{2}{3}- 1 = 0$

$\large \sf 6x^2 + 2\sqrt 6 \cdot x+ 2-3 = 0$

$\large \sf 6x^2 + 2\sqrt 6 \cdot x- 1 = 0$

• Resolva a equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.

$\large \text { \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} }$

$\large \text { \sf x = \dfrac{-2\sqrt6 \pm \sqrt {(2\sqrt6)^2-4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2\cdot 6} }$

$\large \text { \sf x = \dfrac{-2\sqrt6 \pm \sqrt {24+24}}{2\cdot 6} = \dfrac{-2\sqrt6 \pm \sqrt {48}}{2\cdot 6}= \dfrac{-2\sqrt6 \pm 4\sqrt3}{2 \cdot 6} }$$\large \sf x = \dfrac{-\sqrt6 \pm 2 \cdot \sqrt3}{ 6} = -\dfrac{\sqrt6 }{6} \pm \dfrac{ \sqrt3}{3}$

$\large \sf sen \ \theta = \dfrac{ \sqrt3}{3} -\dfrac{\sqrt6 }{6}$

ou

$\large \sf sen \ \theta = -\dfrac{ \sqrt3}{3} -\dfrac{\sqrt6 }{6}$

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