Question

Sabendo que as médias aritmética e geométrica de dois números quaisquer a e b são 20,5 e 20 respectivamente, determine o valor de a e b.

Answer 1

Para calcular a média aritmética de dois números a e b, fazemos
$\dfrac{a+b}{2}$

Já para calcular a média geométrica:
$\sqrt{a \times b}$

Sabemos que
$\dfrac{a+b}{2}=20,5 \\ \\ \sqrt{ab}=20$

Passando o 2 multiplicando na primeira linha e elevando os dois lados ao quadrado na segunda:

$a+b=41 \\ ab = 400$

Como a + b = 41, então a = 41 - b

Vamos substituir a por 41-b na segunda equação:

$ab = 400 \\ (41-b) \cdot b = 400 \\ 41b - b^2 = 400 \\ -b^2+41b-400 = 0 \\ \\ \Delta = 41^2-4\cdot(-1)\cdot(400) \\ \Delta = 1681 - 1600 \\ \Delta = 81 \\ \\ b = \dfrac{-41 \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot (-1)} \\ \\ b = \dfrac{-41 \pm 9}{-2} \\ \\ b = 16 \ ou \ 25$

Descobrimos o valor de b, que pode ser tanto 16 ou 25.
Como a + b = 41, podemos achar o valor de a.

Se b = 16:
a + 16 = 41, então a = 25

Se b = 25:
a + 25 = 41, então a = 16

Ou seja, b = 16 e a = 25
ou
a = 25 e b = 16