Question

Sabendo que a sucessão (x-1,x+1,x+4,..)(x-1,x+1,x+4...) é uma PG calcule seu quinto elemento

Answer 1

Vamos lá.

Ah, agora está correto. Trata-se apenas de uma sequência, que é esta e que é uma PG:

(x-1; x+1; x+4.....)

Pede-se o 5º termo dessa PG.

Veja: a exemplo do que fizemos na sua questão anterior, note que se a sequência acima é uma PG, então a razão (q) será encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então deveremos isto:

(x+4)/(x+1) = (x+1)/(x-1) ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
(x-1)*(x+4) = (x+1)*(x+1) ---- desenvolvendo, teremos:
x² + 3x - 4 = x² + 2x + 1 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² + 3x - 4 - x² - 2x - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x - 5 = 0  --- passando '5" para o 2º membro, teremos:
x = 5 <--- Este será o valor de "x".

Agora vamos na sequência e vamos substituir o "x" por 5. A sequência é esta:

(x-1; x+1; x+4...) ---- substituindo-se o "x" por "5", teremos:
 
(5-1; 5+1; 5+4....) = (4; 6; 9; ....) <--- Esta é a sequência.

Veja que a razão (q) deverá ser constante e igual à divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então:

q = 9/6 = 6/4 = 3/2 <--- Esta é a razão da PG.

A propósito, note que:

9/6 = 3/2 (após dividirmos numerador e denominador por "3".
e
6/4 = 3/2 (após dividiremos numerador e denominador por "2".

Por isso é que a razão (q) é igual a 3/2, como encontramos aí em cima.

Agora vamos encontrar o 5º termo pela fórmula do termo geral de uma PG, que é dada por:

an = a₁ * qⁿ⁻¹

Na fórmula acima "an" é o termo que queremos encontrar. Como queremos encontrar o 5º termo, então substituiremos "an" por "a₅". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "4", que é o 1º termo. Por seu turno, substituiremos "q" por "3/2", que é a razão. E, finalmente, substituiremos "n" por "5", já que queremos encontrar o 5º termo.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

a₅ = 4*(3/2)⁵⁻¹
a₅ = 4*(3/2)⁴ ----- veja que (3/2)⁴ = 81/16. Assim:
a₅ = 4*(81/16) ---- efetuando este produto, teremos:
a₅ = 324/16 ----- dividindo-se numerador e denominador por "4", temos:
a₅ = 81/4 <----- Esta é a resposta. Este é o 5º termo procurado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.