Question

Sabendo que a integral de $sin (2x)+1$ de $0$ a $n$ é igual a $2\pi$, calcule o valor de n.

$\int\limits^n_0 {[sin(2x)+x]} \, dx$

Answer 1

Resposta:

$n = 2\pi$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, calculamos a integral diretamente. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

$\int\limits^n_0 {[sin(2x)+1]} \, dx = \left(-\frac{cos(2x)}{2}+x\right)\arrowvert_{x=0}^n = \left(-\frac{cos(2n)}{2}+n\right) - \left(-\frac{cos(2\times 0)}{2}+0\right) = -\frac{cos(2n)}{2}+ n + \frac{cos(0)}{2} = -\frac{cos(2n)+1}{2}+ n$

Por outro lado, temos que

$\int\limits^n_0 {[sin(2x)+1]} \, dx = 2\pi$

Logo,

$-\frac{cos(2n)+1}{2}+ n = 2\pi$      (1)

Note agora que

$cos(2n) = cos^2(n) - sin^2(n)$      (2)    

e

$1 = cos^2(n) + sin^2(n)$            (3)

Subtraindo (2) de (3), temos

$1-cos(2n) = 2sin^2(n) \implies \frac{1-cos(2n)}{2} = sin^2(n)$

Reescrevendo a equação (1), obtemos

$sin^2(n) + n = 2\pi$

Note que resolver a última equação é equivalente a determinar quando as curvas $f(x) = sin^2(x)$ e $g(x) = 2\pi-x$ coincidem. Obviamente, $x=2\pi$ é solução dessa equação, uma vez que as duas funções se anulam neste ponto. Temos que ver agora que esta é a única solução.

Primeiramente, para todo $x\in \mathnn{R}$, $0\leq f(x)\leq 1$.

Note que, como g(x) é decrescente, temos que $f(x)<g(x)$, de $x=-\infty$ até $x = \frac{3\pi}{2}$. Isto é, não coincidem nesse intervalo. De fato, se $x\in \left(-\infty,\frac{3\pi}{2}\right]$, então

$g(x) > g(\frac{3\pi}{2}) = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} > 1$

Note também que, para $x>2\pi$, g(x) é negativa e, portanto, não pode coincidir com f(x) que é sempre positiva. Restringimos a análise das possíveis soluções ao intervalo $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$. Como já sabemos que $x=2\pi$ é solução, vejamos que qualquer ponto de $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$ não é solução. Para provar isso, vamos supor que existe um tal ponto $y\in \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$ que é uma solução e chegaremos a um absurdo (esta é uma técnica bem comum de demonstrações). Dessa forma, a nossa suposição inicial será, necessariamente, falsa. Do ponto de vista da Lógica, há somente duas opções: ou a suposição inicial é falsa, ou é verdadeira; e, se fosse verdadeira, implicaria o absurdo!

Suponha então  $y\in \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$ tal que

$f(y) =g(y)\implies sin^2(y) = 2\pi - y$

Temos que

$g'(x) = -1,$  e

$f'(x) = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)$

Logo,

$sin(x)<0 \ \text{e}\ cos(x)>0\ \text{para}\ x\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\implies -1\leq sin(2x) = f'(x)<0\ \text{para}\ x\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

Temos então que g(x) decresce mais rápido que f(x). Portanto, a partir do ponto y onde as funções coincidem, o gráfico de g(x) ficará abaixo do gráfico de f(x). Logo, g(x) tocará o eixo x antes que f(x), ou seja, em um ponto $z<2\pi$, o que é um absurdo pois g(x) toca o eixo x em apenas um ponto e este ponto é exatamente $2\pi$. Negando nossa suposição inicial, não existe uma solução $y\in \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$.

Concluímos que a única solução para a equação (1) é $n=2\pi$.