Question

Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização s = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência.

Answer 1

Por meio dos cálculos realizando, descobrimos que o comprimento desta circunferência neste dado intervalo é $\boxed{\bf S = 2\pi r}$

Temos a seguinte parametrização:

$\: \: \: \: \: \: \bf s(t) = (r. \cos(t), r. \sin(t))$

Para "fixar" o cálculo, vamos esquematizar os passos que vamos utilizar para este cálculo.

• Roteiro:

$\begin{cases}1) \: derivar \: s(t) \\ 2) \: norma \: de \: || s'(t) || \\ 3) \: integrar \: || s '(t) || \end{cases}$

O cálculo é feito basicamente através de substituição em uma fórmula, sendo ela:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{S = \int_{a}^{b} ||s'(t)|| \: dt }$

Portanto, de acordo com o roteiro, vamos iniciar fazendo a derivação desta expressão s(t).

$s(t) = (r. \cos(t), r. \sin(t)) \: \: \: \: \: \: \: \\ s'(t) = (r.( - \sin(t)), r. \cos(t)) \\ s'(t) = ( - r \sin(t), r. \cos(t)) \: \: \: \:$

Agora vamos encontrar a norma desta expressão. Lembrando que a norma é basicamente encontrar o módulo.

$| |s '(t) | | = \sqrt{( - r. \sin(t)) {}^{2} + (r. \cos(t)) {}^{2} } \\ | |s '(t) | | = \sqrt{r {}^{2}. \sin {}^{2} (t) + r {}^{2}. \cos {}^{2} (t) } \\ | |s '(t) | | = \sqrt{r {}^{2} . \: [\sin {}^{2} (t) + \cos {}^{2} (t) ] }$

Pela trigonometria, sabemos que $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, sendo esta relação fundamental da trigonometria. Enfim:

$| |s '(t) | | = \sqrt{r {}^{2} . \: \underbrace{[\sin {}^{2} (t) + \cos {}^{2} (t) ]}_{ = 1} } \\ \underbrace{ | |s '(t) | | = \sqrt{r {}^{2} }}_{r \geqslant 0 \: \: (raio)} \: \to \: | |s '(t) | | = r$

Finalmente, vamos substituir este resultado dentro da integral. Vale ressaltar que os limites de integração são os valores dados no enunciado $\bf 0\leqslant t \leqslant 2\pi$.

$S = \int_{0}^{2\pi} rdt \: \to \: \: S =r \int_{0}^{2\pi} dt \\ \\ S =r \: . \: [t] \bigg| _{0}^{2\pi} \: \: \to \: \: S = r \: . \: [2\pi - 0] \\ \\ \boxed{\boxed{S = 2\pi r}}$

Observe que coincidiu com o comprimento da circunferência que aprendemos no fundamental.

Espero ter ajudado

Para mais um exemplo, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/6226492