Question

Sabendo que :
a + b = 7
a x b = 4

1) Sem encontrar A nem B, calcular a^2 + b^2



2)Sem encontrar A nem B, calcular a^3 + b^3



PASSO A PASSO POR FAVOR

Answer 1

1)
a+b = 7
(a+b)² = (7)²
a²+b² + 2.(a.b) = 49
a²+b² + 2.(4) = 49
a²+b² = 49 -8
a²+b² = 41 ✓

2)
a³+b³ = (a+b). (a²+b² -a.b)
a³+b³ = (7). (41 -4)
a³+b³ = 7. (37)
a³+b³ = 259 ✓

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lara, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sabendo-se que:

a + b = 7     . (I)

e

a*b = 4      . (II)

determine:

1) Sem encontrar o valor de "a" nem de "b", calcule quanto é que dá o resultado de: "a²+b²".

Veja: vamos tomar a expressão (I) original e vamos elevar os seus dois membros ao quadrado. Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

a + b = 7 ----- elevando ambos os membros ao quadrado, ficaremos com:

(a+b)² = 7² ------ desenvolvendo os quadrados indicados nos 2 membros, teremos:

a²+2ab+b² = 49 ---- vamos apenas ordenar, ficando assim:

a² + b² + 2ab = 49 ------ mas foi dado que: ab = 4. Então vamos substituir "ab" por "4" na expressão acima. Assim, ficaremos:

a² + b² + 2*4 = 49  ------ desenvolvendo, temos:

a² + b² + 8 = 49 ---- passando "8" para o 2º membro, teremos:

a² + b² = 49 - 8

a² + b² = 41 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. Ou seja, a expressão "a²+b²" é igual a 41. Note que encontramos o valor sem termos que encontrar o valor de "a" nem de "b".

2) Sem encontrar o valor de "a" nem de "b" encontre qual é o resultado da expressão "a³ + b³". Veja: utilizando o mesmo raciocínio da expressão anterior, então vamos elevar ao cubo os dois membros da expressão (I). Vamos repetir a expressão (I), que é esta:

a + b = 7 ----- elevando ambos os membros ao cubo, teremos:

(a+b)³ = 7³ ------ desenvolvendo o cubo nos dois membros, temos:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 343 ----- vamos ordenar, ficando:

a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = 343 ----- vamos colocar "3ab" em evidência nos fatores "3a²b + 3ab²", ficando assim:

a³ + b³ + 3ab*(a + b) = 343 ----- mas já vimos que "ab = 4" e que "a+b = 7". Então vamos substituir, ficando assim:

a³ + b³ + 3*4*(7) = 343 ---- como "3*4*7 = 84", teremos:

a³ + b³ + 84 = 343 ----- passando "84" para o 2º membro, temos:

a³ + b³ = 343 - 84

a³ + b³ = 259 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.Ou seja, a expressão "a³+b³" é igual a 259. Note que encontramos o valor sem termos que encontrar o valor de "a" nem de "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.