Question

Sabendo que a área do paralelogramo no anexo abaixo tem 24 u.m² e os pontos E e F são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Qual a área do quadrilátero destacado abaixo?


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Como o exercício não especificou o tipo do paralelogramo (Lados ou ângulos), podemos considerá-lo como um quadrado, pois essa figura também é um paralelogramo.

Esse quadrado possui 24 de área, portanto seus lados medem  $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.

A suas diagonais AC e BD medem:

$2\sqrt{6}*\sqrt{2}=4\sqrt{3}$

O método que irei utilizar para calcular as áreas é subtraindo a área do triângulo DHG de DEF.

Para isso irei calcular certas medidas:

$BE=BF=\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$

$EF=\sqrt{(BE)^2+(BF)^2}$
$EF=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2}$
$EF=\sqrt{6+6}$
$EF=\sqrt{12}$
$EF=2\sqrt{3}$

HG possui medida igual a 1/3 da diagonal, que pode ser provada usando semelhança de triângulos entre  o triângulo DAG e o formado pelas retas DC,DA e EF.

$HG=\frac{AC}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

A distância de D ao ponto médio de HG (Irei chamar de I) equivale a metade da diagonal do quadrado, portanto é igual a $2\sqrt{3}$

A distância de I ao ponto médio de EF (Chamarei de J) vale a metade de BI=ID, provado pelo Teorema de Tales se compararmos os segmentos BA e BI, interceptadas pelas paralelas EF e AC, então $\overline{IJ}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Estamos prontos para calcular as áreas dos triângulos.

Irei determinar a área triângulo maior (DEF) como A1 e a do triângulo menor (DHG) de A2.

$A_1=\frac{\overline{EF}*\overline{JD}}{2}=\frac{\overline{EF}*(\overline{DI}+\overline{IJ})}{2}=\frac{2\sqrt{3}*(2\sqrt{3}+\sqrt{3})}{2}=\sqrt{3}*3\sqrt{3}=9$


$A_2=\frac{\overline{HG}*\overline{DI}}{2}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}*2\sqrt{3}}{2}=4$

$A_R=A_1-A_2$
$A_R=9-4$

$\boxed{A_R=5}$

Portanto, a área do quadrilátero destacado mede 5 unidades de área.