Question

Sabendo que a aceleração é igual à derivada da velocidade em relação ao tempo, deduza as equações de movimento unidimensional de uma partícula com aceleração constante

Answer 1

Resposta:

$v(t) = v_0 + at \\ \\x(t) = x_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2}a t^2$

Explicação:

Considerando que o instante inicial $t_0 = 0$

$a = \dfrac{dv}{dt} \rightarrow dv = a dt \rightarrow \int\limits^{v(t)}_{v_0} \, dv = \int\limits^t_0 a \, dt \rightarrow v(t) - v_0 = a (t-0)\\ \\v(t) = v_0 + at$

$v(t) = \dfrac{dx}{dt} \rightarrow dx = v(t) dt \rightarrow \int\limits^{x(t)}_{x_0} \, dx = \int\limits^t_0 (v_0+at) \, dt \\ \\ x(t) - x_0 = v_0 (t-0) +\dfrac{1}{2} a (t^2-0^2) \\ \\ x(t) = x_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2}a t^2$

As demais equações equações relativas ao movimento uniformemente variado podem ser obtidas substituindo uma equação na outra, sem a necessidade de integrar ou derivar.