Question

sabendo que 9 senx + três raiz de 5cosx =11 calcule a tg X mas me expliquem de forma clara e detalhada explicando o que está sendo feito.
Obrigado

Answer 1

$9\mathrm{\,sen\,}x+3\sqrt{5}\cos x=11$


Vemos que os valores de $x$ para os quais se tem

$\cos x=0$

são $x=\pm \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi$, onde $k\in\mathbb{Z}$,

e estes valores de $x$ não são soluções para a equação acima, pois substituindo na equação, não satisfazemos a igualdade:

$\bullet\;\;9\mathrm{\,sen\,}\left(\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right )+3\sqrt{5}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right )\\ \\ =9 \cdot 1 + 3\sqrt{5}\cdot 0\\ \\ =9 \neq 11\\ \\ \\ \bullet\;\;9\mathrm{\,sen\,}\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right )+3\sqrt{5}\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right )\\ \\ =9 \cdot \left(-1 \right ) + 3\sqrt{5}\cdot 0\\ \\ =-9 \neq 11$


Logo, garantimos que

$\cos x \neq 0$


Então, podemos dividir os dois lados da igualdade por $\cos x$, chegando a

$\dfrac{9\mathrm{\,sen\,}x+3\sqrt{5}\cos x}{\cos x}=\dfrac{11}{\cos x}\\ \\ \dfrac{9\mathrm{\,sen\,}x}{\cos x}+\dfrac{3\sqrt{5}\cos x}{\cos x}=\dfrac{11}{\cos x}\\ \\ 9\mathrm{\,tg\,}x+3\sqrt{5}=11\sec x$


Elevando os dois dados ao quadrado, temos

$\left(9\mathrm{\,tg\,}x+3\sqrt{5} \right )^{2}=\left(11\sec x \right )^{2}\\ \\ 9^{2}\mathrm{\,tg}^{2\,}x+2\cdot 9\mathrm{\,tg\,}x\cdot 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5} \right )^{2}=11^{2} \sec^{2}x\\ \\ 81\mathrm{\,tg}^{2\,}x+54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+3^{2}\cdot 5=121 \sec^{2}x\\ \\ 81\mathrm{\,tg}^{2\,}x+54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+9 \cdot 5=121 \sec^{2}x\\ \\ 81\mathrm{\,tg}^{2\,}x+54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+45=121 \sec^{2}x$


Mas $\sec^{2}x=1+\mathrm{tg}^{2\,}x$. Substituindo na equação, temos

$81\mathrm{\,tg}^{2\,}x+54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+45=121 \cdot \left(1+\mathrm{tg}^{2\,}x \right )\\ \\ 81\mathrm{\,tg}^{2\,}x+54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+45=121 +121\mathrm{\,tg}^{2\,}x\\ \\ 121\mathrm{\,tg}^{2\,}x-81\mathrm{\,tg}^{2\,}x-54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+121-45=0\\ \\ 40\mathrm{\,tg}^{2\,}x-54\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+76=0\\ \\ 2\cdot \left(20\mathrm{\,tg}^{2\,}x-27\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+38 \right )=0\\ \\ 20\mathrm{\,tg}^{2\,}x-27\sqrt{5}\mathrm{\,tg\,}x+38=0$


Fazendo a substituição

$y=\mathrm{tg\,}x$

chegamos a

$20y^{2}-27\sqrt{5}y+38=0\;\;\Rightarrow\;\;a=20,\;\;b=-27\sqrt{5},\;\;c=38\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=\left(-27\sqrt{5} \right )^{2}-4\cdot \left(20 \right )\cdot \left(38 \right)\\ \\ \Delta=3\,645-3\,040\\ \\ \Delta=3\,645-3\,040\\ \\ \Delta=605\\ \\ \Delta=11^{2}\cdot 5\\ \\ \\ y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ y=\dfrac{-\left(-27\sqrt{5} \right )\pm \sqrt{11^{2}\cdot 5}}{2\cdot \left(20 \right )}\\ \\ y=\dfrac{27\sqrt{5}\pm 11\sqrt{5}}{40}\\ \\ y=\dfrac{\left(27 \pm 11 \right )\sqrt{5}}{40}$


Substituindo de volta para $\mathrm{tg\,}x$, temos

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\left(27 \pm 11 \right )\sqrt{5}}{40}\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{tg\,}x=\dfrac{\left(27 + 11 \right )\sqrt{5}}{40}&\text{ ou }&\dfrac{\left(27 - 11 \right )\sqrt{5}}{40} \end{array}\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{tg\,}x=\dfrac{38\sqrt{5}}{40}&\text{ ou }&\mathrm{tg\,}x=\dfrac{16\sqrt{5}}{40} \end{array}\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{tg\,}x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2 \cdot 19\sqrt{5}}{\diagup\!\!\!\!2 \cdot 20}&\text{ ou }&\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!8 \cdot 2\sqrt{5}}{\diagup\!\!\!\!8 \cdot 5} \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} \mathrm{tg\,}x=\dfrac{19\sqrt{5}}{20}&\text{ ou }&\mathrm{tg\,}x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \end{array} }$