Question

Sabendo que √2 = 1,41 e √3 = 1,73, simplifique os radicais e determine, na forma decimal, o valor de:

a) √18
b) √48
c) √32
d) √200
e) √162
f) √75
g) √1200

Answer 1

Esta tarefa consiste em decompor os números que estão no radicando em fatores primos, e usar as aproximações racionais para  √2  e  √3  dadas no enunciado. Observe:

a)  √18

   18 | 2
    9 | 3     ⇒     18 = 2 · 3²
    3 | 3
     1 |


Portanto,

√18

= √(2 · 3²)

= √2 · √(3²)

= √2 · 3

≈ 1,41 · 3

= 4,23          ✔

—————

b)  √48

  48 | 2
  24 | 2
   12 | 2     ⇒     48 = 2⁴ · 3
    6 | 2
    3 | 3
     1 |


Portanto,

√48

= √(2⁴ · 3)

= √[ 2²·² · 3 ]

= √[ (2²)² · 3 ]

= √(2²)² · √3

= 2² · √3

= 4 · √3

≈ 4 · 1,73

= 6,92          ✔

—————

c)  √32

   32 | 2
    16 | 2
     8 | 2     ⇒     32 = 2⁵
     4 | 2
     2 | 2
      1 |


Portanto,

√32

= √(2⁵)

= √(2⁴⁺¹)

= √(2⁴ · 2)

= √[ 2²·² · 2 ]

= √[ (2²)² · 2 ]

= √(2²)² · √2

= 2² · √2

= 4 · √2

≈ 4 · 1,41

= 5,64          ✔

—————

d)  √200

  200 | 2
   100 | 2
    50 | 2     ⇒     200 = 2³ · 5²
    25 | 5
      5 | 5
       1 |


Portanto,

√200

= √(2³ · 5²)

= √(2²⁺¹ · 5²)

= √(2² · 2 · 5²)

= √(2² · 5² · 2)

= √[ (2 · 5)² · 2 ]

= √(2 · 5)² · √2

= 2 · 5 · √2

= 10 · √2

≈ 10 · 1,41

= 14,1          ✔

—————

e)   √162

   162 | 2
     81 | 3
    27 | 3     ⇒     162 = 2 · 3⁴
      9 | 3
      3 | 3
       1 |


Portanto,

√162

= √(2 · 3⁴)

= √[ 2 · 3²·² ]

= √[ 2 · (3²)² ]

= √2 · √(3²)²

= √2 · 3²

= √2 · 9

≈ 1,41 · 9

= 12,69          ✔

—————

f)  √75
  
  75 | 3
  25 | 5     ⇒     75 = 3 · 5²
    5 | 5
     1 |


Portanto,

√75

= √(3 · 5²)

= √3 · √(5²)

= √3 · 5

≈ 1,73 · 5

= 8,65          ✔

—————

g)  √1200
 
   1200 | 2
    600 | 2
    300 | 2
     150 | 2     ⇒     1200 = 2⁴ · 3 · 5²
      75 | 3
      25 | 5
        5 | 5
         1 |


Portanto,

√1200

= √(2⁴ · 3 · 5²)

= √[ 2²·² · 3 · 5² ]

= √[ (2²)² · 3 · 5² ]

= √[ (2²)² · 5² · 3 ]

= √[ (2² · 5)² · 3 ]

= √(2² · 5)² · √3

= 2² · 5 · √3

= 4 · 5 · √3

= 20 · √3

≈ 20 · 1,73

= 34,6          ✔


Observação:  todos os resultados são valores aproximados.


Bons estudos! :-)