Question

Sabemos que dois triângulos são semelhantes se, somente se, possuem lados homólogos proporcionais e ângulos correspondentes. Na figura abaixo, AB = 3cm, BC= 9cm. Nessas condições, determine a área e o perímetro do quadrado BEDF. Segue em anexo a figura.

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Answer 1

Vamos chamar o lado do quadrado de x. Sendo assim temos que o perímetro vale 4x e a área vale x². Analisando os ângulos dos triângulos AED e DFC vemos que eles são semelhantes.
Como AB = 3cm e BE = x cm temos que AE = (3-x) cm; do mesmo modo, FC = (9-x) cm. Daí, fazendo a proporção:

$\frac{AE}{ED} = \frac{DF}{FC} \Rightarrow \frac{3-x}{x}=\frac{x}{9-x} \Rightarrow x^2=(3-x)(9-x) \\ \\ x^2=x^2-12x+27 \Rightarrow 12x=27 \Rightarrow \boxed{x=\frac{9}{4} \ \mathrm{cm}}$

Agora é só substituir no que falei no começo da resposta:

$2p=4x \Rightarrow \boxed{2p=9 \ \mathrm{cm}} \\ \\ A=x^2=\left( \frac{9}{4} \right) ^2 \Rightarrow \boxed{A=\frac{81}{16} \ \mathrm{cm} ^2}$