Question

sabemos que √5 está estre 2 e 3. Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais.
a)3,24 b)2,24 c)2,26 d) 2,28

me ajudem ;_;​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{b)~2.24}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o Método de Newton-Raphson.

Sabendo que $2<\sqrt{5}<3$, devemos determinar o valor aproximado deste radical.

Considere a equação quadrática incompleta $x^2-5=0$, em que uma de suas raízes é $\sqrt{5}$.

A iteração é dada pela fórmula: $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, tal que $f'(x_n)$ é o valor da derivada da função no ponto escolhido.

O valor $x_n$ é um dos valores próximos, sendo dados pelo enunciado ou facilmente deduzidos, considerando as propriedades das desigualdades. Geralmente, escolhemos o valor maior, pois assim teremos uma aproximação por excesso.

Para calcularmos a derivada da função, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, teremos: $f'(x)=(x^2-5)'=2x$.

Considerando $x_0=3$, teremos a primeira a iteração:

$x_1=3-\dfrac{3^2-5}{2\cdot 3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_1=3-\dfrac{9-5}{6}\\\\\\\ x_1=3-\dfrac{4}{6}$

Some as frações

$x_1=\dfrac{7}{3}~~\approx2.66$.

Fazemos mais uma iteração:

$x_2=\dfrac{7}{3}-\dfrac{\left(\dfrac{7}{3}\right)^2-5}{2\cdot\dfrac{7}{3}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_2=\dfrac{7}{3}-\dfrac{\dfrac{49}{9}-5}{\dfrac{14}{3}}$

Some as frações

$x_2=\dfrac{7}{3}-\dfrac{\dfrac{4}{9}}{\dfrac{14}{3}}\\\\\\\\ x_2=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{21}\\\\\\\\ x_2=\dfrac{47}{21}\approx 2.238$

Analisando as alternativas, o valor aproximado deste número irracional, com duas casas decimais é $2.24$, resposta contida na letra b).