Question

Sabe-se que sen x= -3/5 e x é um arco do 4° quadrante. Entao, é verdade que:

a) tg x= -3/4

b) tg x= 1/2

c) tg x= -4/5

d) tg x= 3/4

e) tg x= 4/5

Answer 1

Sabendo que sen x = − 3/5, e x é um arco do 4º quadrante, calcular tg x.

Sabemos que

    $\mathsf{tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{\quad\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\Big(\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\Big)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{sen^2\,x}{cos^2\,x}}$

Mas pela relação trigonométrica fundamental, temos cos² x = 1 − sen² x:

    $\mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{sen^2\,x}{1-sen^2\,x}}$

Substituindo o valor de sen x = − 3/5, temos

    $\mathsf{\quad\Longrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{(\frac{3}{5})^2}{1-(\frac{3}{5})^2}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{\frac{9}{25}}{1-\frac{9}{25}}}$

Multiplique no lado direito o numerador e o denominador por 25 para simplificar:

         $\mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{\frac{9}{25}\cdot 25}{(1-\frac{9}{25})\cdot 25}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{9}{25-9}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg^2\,x=\dfrac{9}{16}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{16}}}\\\\\\ \mathsf{\quad\Longleftrightarrow\quad tg\,x=\pm\,\dfrac{3}{4}}$

Como x é do 4º quadrante, o valor da tangente é negativo. Portanto,

    $\mathsf{\quad\Longrightarrow\quad tg\,x=-\,\dfrac{3}{4}\quad\longleftarrow\quad resposta:~alternativa~a).}$

Bons estudos! :-)