Question

Sabe-se que o vetor x é ortogonal a (1,1,0) e a (-1,0,1), tem norma √3 e, sendo θ a medida do ângulo entre x e (0,1,0), tem-se cos θ > 0. Ache x.

Answer 1

Temos x = (a,b,c), daí:

$\displaystyle \mathsf{x \cdot u = 0} \\ \\ \mathsf{(a,b,c) \cdot (1,1,0)=0} \\ \\ \mathsf{a+b=0} \\ \\ ==== \\ \\ \mathsf{x \cdot v = 0} \\ \\ \mathsf{(a,b,c) \cdot (-1,0,1)=0} \\ \\ \mathsf{-a+c=0}$

Temos um sistema linear!

$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{a+b=0} \atop {-a+c=0}} \right. } \\ \\ \\ ==== \\ \\ \mathsf{b+c=0} \\ \\ \mathsf{c=-b} \\ \\ ==== \\ \\ \mathsf{-a+c=0} \\ \\ \mathsf{-a-b=0} \\ \\ \mathsf{a=-b}$

De acordo com a premissa:

$\displaystyle \mathsf{||x||= \sqrt{3} } \\ \\ \\ \mathsf{ \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} } \\ \\ \\ \mathsf{ a^2+b^2+c^2 = \big(\sqrt{3} \, \big)^2 } \\ \\ \\ \mathsf{ a^2+b^2+c^2=3 } \\ \\ \\ \mathsf{ (-b)^2+b^2+(-b)^2=3 } \\ \\ \\ \mathsf{ b^2+b^2+b^2=3 } \\ \\ \\ \mathsf{3b^2=3} \\ \\ \\ \mathsf{b=1}$

E com isso:

$\displaystyle \mathsf{a=-b } \\ \\ \mathsf{a=-1} \\ \\ === \\ \\ \mathsf{c=-b} \\ \\ \mathsf{c=-1}$

O vetor procurado é o seguinte, e verá que o cosseno do ângulo entre ele e (0,1,0) será 0,58 obedecendo a premissa cos θ > 0.

$\displaystyle \boxed{\boxed{ \mathsf{\big x = (-1,1,-1)} }}$