Question

sabe se que o lucro de uma empresa é dado pela formula L= R - C, em que L é o lucro tola, R é a receita total e C é o custo total da produção. Em um laboratório que produz x unidades de determinada vacina, verificou se que R(x) = 6000x - x² e C(x) = x² - 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x de vacinas para que o lucro do laboratório seja máximo ?

Answer 1

Vértice de uma função do segundo grau.

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Do enunciado, temos:

$\begin{cases}\mathsf{L=R-C}\\ \\ \mathsf{R(x)=6\,000\,x-x^{2}}\\ \\ \mathsf{C(x)=x^{2}-2\,000\,x}\end{cases}$

Deseja-se encontrar o lucro, para isso faremos as seguintes substituições:

$\mathsf{L=R-C}\\ \\ \\ \mathsf{L=\big(6\,000\,x-x^{2}\big)-\big(x^{2}-2\,000\,x\big)}\\ \\ \\ \mathsf{L=6\,000\,x-x^{2}-x^{2}+2\,000\,x}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{\mathsf{L(x)=8\,000\,x-2\,x^{2}}}$

Isso nos dá o lucro e função das vacinas em uma parábola de concavidade para baixo devido o coeficiente negativo acompanhando o x².

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Para encontrar a quantidade X de vacinas para o lucro máximo, devemos encontrar o X do vértice desta parábola.

Para o X do vértice temos o seguinte:

$\boxed{\mathsf{x_{v}=-\dfrac{b}{2\,a}}}$

Fazendo as devidas substituições, teremos:

$\text{Para L(x)}\\ \\ \\ \mathsf{X_{v}=-\dfrac{8\,000}{2\,.\,(-2)}}\,\,\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\, \boxed{\mathsf{X_{v}=2\,000}}$

Sendo assim, para que o lucro em função das vacinas seja máximo, o laboratório deve produzir 2 000 vacinas.