Question

Sabe –se que o custo de uma produção pode ser definido por
uma função C(t) e que os pontos críticos dos custos (máximos ou
mínimos) são encontrados com a segunda derivada da função, ou seja,
C’’(t). Além disso, a primeira derivada fornece os candidatos a pontos
críticos, bastando apenas encontrar as raízes de C’(t). Esse processo
serve para qualquer função contínua.
Uma empresa produz um determinado produto com um custo mensal
dado pela função C(t) = x^3/3 - 2 x^2 + 10 x = 20
Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.










(

Answer 1

Resposta:

7

Explicação passo-a-passo:

Sendo o valor ganho pelas vendas dado pela função $g(x)=31x$, o lucro da empresa é:

$L(x)=g(x)-C(x)$

$L(x)=31x-\frac{x^3}{3}+2x^2-10x-20$

$L(x)=-\frac{x^3}{3}+2x^2+21x-20$

Derivando a função lucro, obtemos $L'(x)=-x^2+4x+21$. Como o enunciado disse, para acharmos os candidatos a ponto crítico, basta acharmos as raízes da derivada da função:

$L'(x)=0$

$-x^2+4x+21=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação acima, achamos que as raízes são -3 e 7. Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, devemos calcular o valor de $L''(x)$ para estes valores.

Derivando $L'(x)$, achamos que $L''(x)=-2x+4$. Sendo $x=c$ um candidato a ponto crítico, se $L''(c)>0$ então este é um ponto mínimo e se $L''(c)<0$ ele é um ponto máximo.

Sendo $L''(3)=-2\cdot-3+4=10>0$, o ponto $(-3,L(3))$ é o ponto de mínimo local. Como $L''(7)=-2\cdot7+4=-10<0$, o ponto $(7,L(7))$ é o ponto de máximo local, sendo ele o valor onde o lucro é máximo.