Sabe-se que o 5º e o 8º termos de uma P.G são, respectivamente, 81 e 2187. Determine o 6º termo.
Soluções para a tarefa
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8
Olá, Secoppl!
Vamos lá, usando a fórmula geral da P.G.:
![A_n=A_1\cdot q^{n-1} A_n=A_1\cdot q^{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=A_n%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7Bn-1%7D)
![A_5=A_1\cdot q^{5-1} A_5=A_1\cdot q^{5-1}](https://tex.z-dn.net/?f=A_5%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B5-1%7D)
![81=A_1\cdot q^{4} 81=A_1\cdot q^{4}](https://tex.z-dn.net/?f=81%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B4%7D)
![A_8=A_1\cdot q^{8-1} A_8=A_1\cdot q^{8-1}](https://tex.z-dn.net/?f=A_8%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B8-1%7D)
![2187=A_1\cdot q^{7} 2187=A_1\cdot q^{7}](https://tex.z-dn.net/?f=2187%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B7%7D)
Podemos dividir as duas equações:
![2187=A_1\cdot q^{7} \; , 81=A_1\cdot q^{4} 2187=A_1\cdot q^{7} \; , 81=A_1\cdot q^{4}](https://tex.z-dn.net/?f=2187%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B7%7D+%5C%3B+%2C+81%3DA_1%5Ccdot+q%5E%7B4%7D)
![\frac{2187}{81}=27 \frac{2187}{81}=27](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2187%7D%7B81%7D%3D27)
![\frac{A_1\cdot q^7}{A_1\cdot q^4} = q^3 \frac{A_1\cdot q^7}{A_1\cdot q^4} = q^3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BA_1%5Ccdot+q%5E7%7D%7BA_1%5Ccdot+q%5E4%7D+%3D+q%5E3)
![27=q^3 27=q^3](https://tex.z-dn.net/?f=27%3Dq%5E3)
![q=3 q=3](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D3)
Agora temos a razão da P.G., podemos descobrir o primeiro termo assim:
![81=A_1\cdot{q^{4}} 81=A_1\cdot{q^{4}}](https://tex.z-dn.net/?f=81%3DA_1%5Ccdot%7Bq%5E%7B4%7D%7D)
![81=A_1\cdot{3^{4}} 81=A_1\cdot{3^{4}}](https://tex.z-dn.net/?f=81%3DA_1%5Ccdot%7B3%5E%7B4%7D%7D)
![81=A_1\cdot81 81=A_1\cdot81](https://tex.z-dn.net/?f=81%3DA_1%5Ccdot81)
![A_1 = 1 A_1 = 1](https://tex.z-dn.net/?f=A_1+%3D+1)
O primeiro termo é 1, o sexto termo é obtido da seguinte forma:
![A_n=A_1\cdot{q^{n-1}} A_n=A_1\cdot{q^{n-1}}](https://tex.z-dn.net/?f=A_n%3DA_1%5Ccdot%7Bq%5E%7Bn-1%7D%7D)
![A_6=1\cdot{3^{6-1}} A_6=1\cdot{3^{6-1}}](https://tex.z-dn.net/?f=A_6%3D1%5Ccdot%7B3%5E%7B6-1%7D%7D)
![A_6=3^5 A_6=3^5](https://tex.z-dn.net/?f=A_6%3D3%5E5)
![A_6=243 A_6=243](https://tex.z-dn.net/?f=A_6%3D243)
A resposta é 243!
Vamos lá, usando a fórmula geral da P.G.:
Podemos dividir as duas equações:
Agora temos a razão da P.G., podemos descobrir o primeiro termo assim:
O primeiro termo é 1, o sexto termo é obtido da seguinte forma:
A resposta é 243!
Respondido por
7
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Sabemos que do 5° termo ao 8° termo são 4 termos, sabemos também que a5=81 e a8=2 187, sendo assim, pela fórmula do termo geral da P.G., vem:
![a _{n}=a _{1}.q ^{n-1} a _{n}=a _{1}.q ^{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=a+_%7Bn%7D%3Da+_%7B1%7D.q+%5E%7Bn-1%7D+++)
![2187=81.q ^{4-1} 2187=81.q ^{4-1}](https://tex.z-dn.net/?f=2187%3D81.q+%5E%7B4-1%7D+)
![\frac{2187}{81}=q ^{3} \frac{2187}{81}=q ^{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2187%7D%7B81%7D%3Dq+%5E%7B3%7D++)
![q ^{3}=27 q ^{3}=27](https://tex.z-dn.net/?f=q+%5E%7B3%7D%3D27+)
![q= \sqrt[3]{27}= \sqrt[3]{3 ^{3} }=3 ^{ \frac{3}{3} }=3 ^{1}=3 q= \sqrt[3]{27}= \sqrt[3]{3 ^{3} }=3 ^{ \frac{3}{3} }=3 ^{1}=3](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7B3+%5E%7B3%7D+%7D%3D3+%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D+%7D%3D3+%5E%7B1%7D%3D3++++)
Como o queremos o 6° termo, basta multiplicar o 5° pela razão obtida:
![a _{6}=81*3::a _{6}=243 a _{6}=81*3::a _{6}=243](https://tex.z-dn.net/?f=a+_%7B6%7D%3D81%2A3%3A%3Aa+_%7B6%7D%3D243++)
Sabemos que do 5° termo ao 8° termo são 4 termos, sabemos também que a5=81 e a8=2 187, sendo assim, pela fórmula do termo geral da P.G., vem:
Como o queremos o 6° termo, basta multiplicar o 5° pela razão obtida:
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