Question

Sabe-se que na sequência (12,X,Y,4) os três primeiros termos estão em PA e que os três últimos estão em PG, calcular X e Y.

Answer 1

Olá,

a P.A. é..

$(12,x,y)$

a P.G. é..

$(x,y,4)$

Aplicando a média aritmética na P.A.:

$P.A.(a_1,a_2,a_3)\Rightarrow a_2= \dfrac{a_1+a_3}{2}$ 

$x= \dfrac{12+y}{2}~~(i)$


E a média geométrica na P.G.:

$P.G.(a_1,a_2,a_3)\Rightarrow(a_2)^2=(a_1)\cdot(a_3)$

$y^2=4\cdot x\\\\ x= \dfrac{y^2}{4}~~(ii)$

Agora substituímos i em ii:

$\dfrac{12+y}{2}= \dfrac{y^2}{4}\\\\ 4\cdot(12+y)=2\cdot y^2\\ 48+4y=2y^2~~~~~\div~~~~~2\\\\ y^2-2y-24=0~~(eq.~do~2^o~grau)\\\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-24)\\ \Delta=4+96\\ \Delta=100\\\\ y= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-2)\pm \sqrt{100} }{2\cdot1}= \dfrac{2\pm10}{2}\begin{cases}y'=6\\ y''=-4\end{cases}$

Se y vale 6, x valerá..

$x= \dfrac{y^2}{4}= \dfrac{6^2}{4}= \dfrac{36}{4}=9$

Se y vale -4, x valerá..

$x= \dfrac{y^2}{4}= \dfrac{(-4)^2}{4}= \dfrac{16}{4}=4$

Vamos substituir os valores de x e y, que tornam a sequência acima em P.A. e P.G:

Para x=9 e y=6..

$\boxed{P.A.(12,9,6)}\\ \boxed{P.G.(9,6,4)}$


Para x=4 e y= -4..

$(12,4,-4)~~(n\~ao~e\´~P.A.)$
$\boxed{P.G.=(4,-4,4)}$

Note que x=4 e y=-4 satisfazem apenas para a P.G., (P.G. oscilante de razão -1) 

Logo temos que x vale 9, e y vale 6.

Tenha ótimos estudos ;D