Question

Sabe-se que log a = 15 , log b = 3 e log c = 12. Determine o valor de x ,sabendo que x é definido como:

x = log a2b4/raiz de c

Answer 1

Calculando a equação logarítmica, encontramos que o valor de x é igual a 36.

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Considerações

Nessa questão precisamos desenvolver a expressão a fim fazer as devidas substituições e obter um valor numérico para x. Para isso podemos usar algumas das propriedades dos logaritmos, veja a seguir as que eu usei:

    $\\\boldsymbol{\begin{array}{l}\bullet~~1)~\ell og\,(p/q)=\ell og\,(p)-\ell og\,(q)\\\\\bullet~~2)~\ell og\,(p\cdot q)=\ell og\,(p)+\ell og\,(q)\\\\\bullet~~3)~\ell og\,(p^q)=\ell og\,(p)\cdot q\end{array}}$

Na P.1), o logaritmo do quociente de dois fatores é igual à diferença entre o logaritmo de cada fator.

Na P.2), o logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma entre o logaritmo de cada fator.

Na P.3), o logaritmo da potência é igual ao logaritmo da base, que é multiplicado pelo expoente dessa base.

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Resolução

Isso posto, como queremos calcular o valor de x na equação x = log (a²b⁴ / √c) sabendo que log (a) = 15, log (b) = 3 e log (c) = 12. Vamos então desenvolver essa expressão com as propriedades que citei a fim de separar esses logaritmos e poder fazer as substituições:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}x=\ell og\,\bigg(\dfrac{a^2b^4}{\sqrt{c}}\bigg)\\\\x=\ell og\,(a^2b^4)-\ell og\,\big(\sqrt{c}\,\big)\\\\x=\ell og\,(a^2)+\ell og\,(b^4)-\ell og\,\big(\sqrt{c}\,\big)\end{array}}$

Agora a ideia é usar a P.3). Podemos passar o radical para uma potência de expoente fracionário da seguinte forma, $\boldsymbol{\sqrt[r]{p^q}=p^{q/r}}$ (lembrando que raiz quadrada tem índice 2):

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}x=\ell og\,(a^2)+\ell og\,(b^4)-\ell og\,(c\,^{1/2})\\\\x=\ell og\,(a)\cdot2+\ell og\,(b)\cdot4-\ell og\,(c)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\x=15\cdot2+3\cdot4-(12)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\x=30+12-12\cdot\dfrac{1}{2}\\\\x=42-6\\\\\!\boxed{x=36}\end{array}}$

R: Portanto, encontramos que x = 36.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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