Sabe-se que a soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 500. A soma do terceiro
e do oitavo termos dessa progressão é igual a
Soluções para a tarefa
Resposta:
100
Explicação passo-a-passo:
A soma de termos que estão a uma mesma distância do termo inicial e final sempre é igual, veja:
1 2 3 4 5 6
1 + 6 = 7
2 + 5 = 7
3 + 4 = 7
Usaremos essa mesma lógica nesse problema com a fórmula de soma de pa:
500 = ((a₁ + a₁₀)10) / 2
100 = a₁ + a₁₀
E se a₁ + a₁₀ é igual a 100, então a₃ + a₈ também é igual a 100
Vamos lá.
Veja, Alefealves, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Sabe-se que a soma dos 10 primeiros termos de uma PA é igual a 500. Sabendo-se disso, pede-se a soma do terceiro termo (a₃) com o oitavo termo (a₈). Ou seja está sendo pedida a seguinte soma (que vamos chamar de um certo "S"):
S = a₃ + a₈ . (I).
ii) Agora vamos à soma dos 10 primeiros termos da PA da sua questão, que é igual a 500. Antes veja que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada da seguinte forma:
S ̪ = (a₁+a ̪ )*n/2 . (II).
Na expressão (II) acima, temos que "S ̪ " é a soma dos "n" primeiros termos. Como queremos a soma dos 10 primeiros termos, então substituiremos "S ̪ " por "S₁₀". Por sua vez, substituiremos "a ̪ " por "a₁₀", que vai ser o último termo da PA. E, finalmente, substituiremos "n" por "10", pois estamos tratando da soma dos 10 primeiros termos da PA. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
S₁₀ = (a₁+a₁₀)*10/2 ------ como "10/2 = 5", teremos:
S₁₀ = (a₁+a₁₀)*5 ------ mas como a soma dos 10 primeiros termos já foi dado e que é igual a 500, então vamos substituir "S₁₀" por "500", ficando:
500 = (a₁+a₁₀)*5 ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
(a₁₊a₁₀)*5 = 500 ---- isolando "a₁+a₁₀" ficaremos com:
a₁ + a₁₀ = 500/5 ----- como "500/5 = 100", teremos:
a₁ + a₁₀ = 100 . (III).
iii) Agora note isto e nunca mais esqueça: a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA é sempre igual. Assim, se numa PA de 10 termos temos que "a₁+a₁₀ = 100", conforme estamos vendo na expressão (III) acima, então teremos também que: a₂+a₉ = 100; teremos também que: a₃+a₈ = 100; teremos também que: a₄+a₇ = 100; e teremos também que: a₅+a₆ = 100.
Logo, a soma do 3º termo (a₃) e do 8º termo (a₈), como eles são equidistantes dos extremos, então a soma será igual a 100. Logo, a nossa expressão (I) será igual a 100. A nossa expressão (I) é esta:
S = a₃ + a₈ ----- como já vimos que ela é igual a "100", então:
S = 100 <--- Esta é a resposta. Ou seja, como "a₃" e "a₈" são equidistantes dos extremos, então a sua soma será a mesma que "a₁+a₁₀" que já vimos que é 100.
iv) Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja isto: se você tiver uma PA de 10 termos, com a seguinte conformação:
(2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20), verifique que a soma de dois termos equidistantes dos extremos sempre é igual. Veja:
a₁+a₁₀ = 2+20 = 22.
a₂+a₉ = 4+18 = 22
a₃+a₈ = 6+16 = 22
a₄+a₇ = 8+14 = 22
a₅+a₆ = 10+12 = 22
Como você deve ter notado, SEMPRE é IGUAL a soma de dois termos equidistantes dos extremos.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.