Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo está contido na reta t: y = 5x – 13, e um de seus catetos está contido na reta r: y
= x – 1. tem-se também que o ponto P(m, 5) é o vértice onde está o ângulo reto e encontra-se sobre a reta r. Assim sendo, a área desse
triângulo é:
Soluções para a tarefa
A área desse triângulo é 6 u.a.
Vamos calcular a interseção entre as retas y = 5x - 13 e y = x - 1.
Igualando as duas retas, obtemos:
5x - 13 = x - 1
5x - x = -1 + 13
4x = 12
x = 3.
Consequentemente:
y = 3 - 1
y = 2.
Ou seja, um dos vértices é Q = (3,2).
Observe que o ponto P = (m,5) pertence à reta y = x - 1. Então:
5 = m - 1
m = 5 + 1
m = 6. Logo, P = (6,5).
O outro vértice do triângulo pertence à reta y = 5x - 13. Podemos considerar que R = (x, 5x - 13).
Perceba que os vetores PQ = (-3,-3) e PR = (6 - x, 18 - 5x) são perpendiculares, ou seja, o produto interno é igual a zero. Sendo assim:
-3(6 - x) + (-3)(18 - 5x) = 0
-18 + 3x - 54 + 15x = 0
18x = 72
x = 4.
Portanto, R = (4,7).
A distância entre os pontos P e Q é igual a:
d² = (3 - 6)² + (2 - 5)²
d² = 9 + 9
d² = 18
d = 3√2.
E a distância entre os pontos P e R é igual a:
d² = (6 - 4)² + (5 - 7)²
d² = 4 + 4
d² = 8
d = 2√2.
Então, podemos concluir que a área do triângulo é igual a:
S = 3√2.2√2.1/2
S = 12/2
S = 6 u.a.