Question

Sabe-se que a base de um prisma é um triângulo equilátero com 12 cm de perímetro e que a medida de sua altura é igual a 5 /2 da medida da altura da base. Relativamente a esse prisma, determine:

a) A área total;
b) O volume.

OBS: Colocar o cálculo !!

Answer 1

Temos que a base do prisma é um triângulo equilátero de lado igual a 12cm:

L = 12

Primeiro, vamos determinar a altura desse triângulo da base.
Note que um triângulo equilátero pode ser dividido em 2 triângulo retângulos onde a altura do triÂngulo é um cateto, a metade de um lado é o outro cateto e outro lado é a hipotenusa. Com isso, por Pitágoras, vamos determinar a altura "h" do triângulos.

cat₁² + cat₂² = hip²
h² + (L/2)² = L²
h² + (12/2)² = 12²
h² + 6² = 12²
h² + 36 = 144
h² = 144 - 36
h² = 108
h = √108
h = √(2² * 27)
h = 2√27

Portanto, a altura do triângulo mede 2√27 centímetros.

Agora vamos determinar a área desse triângulo, que é a área da base do prisma, considerando um de seus lado como a sua base e a altura "h" que já calculamos, assim, temos que:

A base = (L * h) / 2
A base = (12 * 2√27) / 2
A base = 12√27

Portanto, a área do triângulo equilátero, que é a base do prisma, mede 12√27 cm².

Agora, vamos determinar a altura "H" do prisma, considerando que mede 5/2 da altura "h" do triângulo da base.

H = (5/2) * h
H = (5/2) * 2√27
H = 5√27

Portanto, a altura do prisma mede 5√27 centímetros.

Agora, vamos determinar a área lateral do prisma que é dado pelo perímetro da base "P" multiplicado pela altura "H" do prisma. Assim, temos que:

A lateral = P * H

Como, o perímetro "P" da base é 3 vezes a medida "L" do triângulo, temos que:

A lateral = P * H
A lateral = 3 * L * H
A lateral = 3 * 12 * 5√27
A lateral = 180√27

Portanto, a área lateral do prisma mede 180√27 cm².

Agora, estamos em condições de determinara a áreta total "A" do prisma e seu volume "V".


a) Área total

A área total "A" será a soma da área lateral com o dobro da área da base. Portanto, temos que:

A = A lateral + 2 * A base
A = 180√27 + 2 * 12√27
A = 180√27 + 24√27
A = 204√27

Portanto, a área total do prisma é de 204√27 cm².


b) Volume

O volume "V" de um prisma é dado pela área da base multiplicado por sua altura. Portanto, temos que:

V = A base * H
V = 12√27 * 5√27
V = 60√27

Portanto, o volume do primsa é de 60√27 cm³.