Question

Sabe-se que 3a = (-3 )² e que 9b = -34. Nessas condições, o valor da expressão a² + b² é:​

Answer 1

Temos aqui um sistema de equações:

$\begin{cases} 3a = (-3)^2\\9b = -34 \end{cases}$

Vamos manipulá-lo para encontrar a expressão que queremos sem precisar resolvê-lo. Primeiro, elevamos os dois lados ao quadrado nas duas expressões.

$\begin{cases} (3a)^2 = ((-3)^2)^2\\(9b)^2 = (-3^4)^2 \end{cases}$

E depois transformar tudo em potências de base 3. Encontramos então:

$3^2a^2 = (-3)^9\\3^4b^2 = 3^8$

Vamos isolar as incógnitas em cada uma delas:

$\begin{cases} a^2 = \dfrac{(-3)^9}{3^2}} \\[2ex] b^2 = \dfrac{3^8}{3^4}\end{cases}$

Usando propriedades de potência temos:

$\begin{cases} a^2 = (-3)^7} \\[2ex] b^2 = 3^4\end{cases}$

Agora somamos as duas equações:

$a^2 + b^2 = (-3)^7 + 3^4\\a^2 + b^2 = - 2187 + 81 = 2106$

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