Sabe-se que 3 é quatro vezes a raiz do polinômio x*9-12x*8 58x*7-156x*6+298x*5-444x*4+378x*3-108x*2+81x. Quais são as demais raizes?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Natynho, que a resolução não é das mais simples.
i) Pede-se as demais raízes reais do polinômio p(x) a seguir, sabendo-se que esse polinômio tem a raiz igual a "3" com multiplicidade "4". Em outras palavras, isso significa que o polinômio p(x) tem quatro raízes iguais a "3". O polinômio p(x) é este:
p(x) = x⁹ - 12x⁸ + 58x⁷ - 156x⁶ + 298x⁵ - 444x⁴ + 378x³ - 108x² + 81x
E, se o polinômio acima tem quatro raízes iguais a "3", então ele é divisível (deixa resto zero) por (x-3)⁴ que, quando desenvolvido dá isto: x⁴ - 12x³ + 54x² - 108x + 81.
ii) Vamos efetuar a divisão pelo método tradicional, que é este:
x⁹-12x⁸+58x⁷-156x⁶+298x⁵-444x⁴+378x³-108x²+81x |_ x⁴-12x³+54x²-108x+81_
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x⁵+4x³+x
-x⁹+12x⁸-54x⁷+108x⁶-81x⁵
-----------------------------------------
0..0..+4x⁷-48x⁶+217x⁵-444x⁴+378x³-108x²+81x
........-4x⁷+48x⁶-216x⁵+432x⁴-324x³
----------------------------------------------------------
........0........0..... + x⁵ - 12x⁴ + 54x³ - 108x² + 81x
...........................-x⁵ + 12x⁴ - 54x² + 108x² - 81x
-----------------------------------------------------------------------
...........................0........0...........0...........0..........0 <--- Resto.
(Observação: bem que eu queria que o espaçamento fosse "1" nos cálculos da divisão acima. Mas a plataforma Brainly não deixa. Esperamosque os técnicos resolvam esse problema com a maior brevidade).
iii) Agora veja que ficamos com resto zero (e teria que ser mesmo, já que toda equação é divisível pelas suas raízes) e com o quociente igual a (chamaremos o quociente de q(x) ):
q(x) = x⁵ + 4x³ + x ----- note que uma das raízes da equação q(x) é zero,pois note que se você substituir o "x" de q(x) por "0" toda a equação zerará (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz). Então as outras REAIS serão apenas mais x = 0, pois as demais quatro outras raízes de p(x) serão complexas e o trabalho para encontrá-las é bem "penoso" , pois são necessários muitos cálculos para isso. Portanto, poderemos afirmar que o polinômio p(x) tem quatro raízes REAIS iguais a "3" e uma raiz REAL igual a "0". As outras quatro são complexas e deixaremos de informar seus valores porque o trabalho é bastante penoso.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.