RResolva as equações biquadradas a seguir:
a) x⁴ - 5x² + 4 = 0
b) 4x⁴ - 9x² + 2 = 0
c) 2x⁴ - 3x² - 20 = 0
d) X⁴ + 4 = - 5x³
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo a passo:
RResolva as equações biquadradas a seguir:
equação BIQUADRADA ( 4 raizes)
para TODAS ( SUBSTITITUIR)
x⁴ = y²
x²= y
equação do 2ºgrau
ax² + bx + c = 0
a)
x⁴ - 5x² + 4 = 0 fica
y² - 5y + 4 = 0
a = 1
b = - 5
c = 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(1)(4)
Δ= +5x5 - 4(4)
Δ = +25 - 16
Δ= 9 ---------------------> √Δ = √9 = √3x3 = 3 ( usa na BASKARA)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
y = ----------------
2a
-(- 5) - √9 +5 - 3 + 2
y' =------------------- = --------------- = ------- =1
2(1) 2 2
e
-(- 5) +√9 +5 + 3 +8
y'' = -------------------- = --------------- =---------- = 4
2(1) 2 2
assim
y' =1
y'' =2
voltando na SUBSTITUÇÃO
x² = y
y' =1
x²=1 ===>(²) = (√)
x = ±√1===>(√1 =1)
x= ± 1 ( DUAS raizes)
e
y'' = 4
x² = y
x²=4
x = ± √4 ===>(√4=2)
x = ± 2 (DUAS raizes)
as 4 raizes
x' = - 1
x'' = 1
x''' = - 2
x'''' = 2
b)
4x⁴ - 9x² + 2 = 0 fica
4y² - 9y + 2 =0
a=4
b= - 9
c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ= (-9)² - 4(4)(2)
Δ = +9x9 - 4(8)
Δ=+81 - 32
Δ= 49 ====>(√Δ=√49 =√7x7 = 7)
se
Δ >0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
y = ----------------
2a
-(-9) - √49 +9 - 7 + 2 2:2 1
y' = ------------------ =--------------- =---------- = ------- =----------
2(4) 8 8 8: 2 4
e
-(-9) + √49 +9 + 7 16
y'' = -------------------- = --------------=---------- = 2
2(4) 8 8
assim
y' = 1/4
y'' = 2
voltando na SUBSTITUIÇÃO
y' = 1/4
x² = y
x² = 1/4
x =±√1/4 mesmo que
x = ± √1/√4 ===(√1 =1) e (√4 = 2)
x = ± 1/2 ( DUAS raizes)
e
y'' = 2
x² = y
x²= 2
x = ± √2 ( 2é número PRIMO) raiz NÃO exata
x =± 2 ( DUAS raizes)
as 4 raizes
x' = - 1/2
x''= 1/2
x''' = - √2
x'''' = √2
c)
2x⁴ - 3x² - 20 = 0 fica
2y² - 3y - 20 =0
a = 2
b= - 3
c=20
Δ = b²- 4ac
Δ = (-3)² - 4(2)(-20)
Δ =+3x3 - 4(-40)
Δ = + 9 + 160
Δ = + 169 ===========>(√169 = √13x13 = 13)
se
Δ >0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
y = ----------------
2a
-(-3) - √169 + 3 - 13 - 10 10: 2 5
y' =----------------------- = --------------- =-------- = - -------- = - --------
2(2) 4 4 4: 2 2
e
- (-3) + √169 + 3+ 13 + 16
y'' = ----------------------- =----------------- =------------ = 4
2(2) 4 4
assim
y' =- 5/2
y'' = 4
voltando na SUBSTITUIÇÃO
y' = -5/2
x²= y
x²= 5/2
x = ± √-5/2 ( Não existe RAIZ REAL)
PORQUE???
√-5/2 ( raiz quadrada) com número NEGATIVO
assim
x' e x'' = ∅ ( vazio)
e
y'' = 4
x² = y
x²= 4
x = ± √4 ==>(√4 = 2)
x = ± 2 ( DUAS raizes)
as 4 raizes
x' e x'' = ∅
x''' = - 2
x'''' = 2
d) X⁴ + 4 = - 5x³ ????????
x⁴ + 4= -5x² zero dafunção OLHA O SINAL
x⁴ + 4 + 5x² = 0 arruma a casa
x⁴ + 5x² + 4 = 0 fica
y² + 5y + 4 = 0
a = 1
b=5
c=4
Δ = b² - 4ac
Δ = (5)²- 4(1)(4)
Δ = 5x5 - 4(4)
Δ = 25 - 16
Δ = 9 --------------------->√Δ =√9 = √3x3 =3
se
Δ >0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
y = ----------------
2a
- 5 - √9 -5 - 3 -8
y' = ------------------ =--------------- =------ =- 4
2(1) 2 2
E
-5 - √9 - 5-3 - 8
y' =------------------- =------------- =-------- = - 4
2(1) 2 2
e
- 5+ √9 - 5 + 3 - 2
y'' = ---------------- =-------------- =--------- = - 1
2(1) 2 2
voltando na SUBSTITUIÇÃO
y' = - 4
x²= y
x²= √-4
x= ±√-4 ( NÃO existe raiz reaL)
e
y'' =- 1
x²= y
x²=- 1
x= ±√-1 ( Não existe raiz real)
as 4 raizes
x', x'', x''', x'''' = ∅ ( vazio)