Question

Retas E planos - Geometria Analitica

Answer 1

1 -

Equação paramétrica e vetorial da reta r:

$r: \left[\begin{array}{ccc}x=-1+3\lambda\\y=2+m\lambda\\z=-3+2\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ r: \, x=(-1,2,-3)+\lambda(3,m,2)$

a)

Para a reta r ser paralela ao plano π, o vetor diretor da reta deve formar um ângulo de 90º com o vetor normal do plano n = (1,-3,6) , o que significa dizer que teremos que ter v · n = 0

$(3,m,2) \cdot (1,-3,6) = 0 \\ \\ 3-3m+12=0 \\ \\ -3m=-15 \\ \\ m=5$

m = 5 faz a reta ser paralela ao plano.

b)

Para a reta estar contida no plano, qualquer ponto pertencente à reta deve também pertencer ao plano.

A = (-1,2,-3) representa um ponto da reta, agora vamos conferir se este ponto pertence ao plano:

$x-3y+6z=-7 \\ \\ -1-3 \cdot 2 + 6 \cdot (-3)=-7 \\ \\ -1-6-18=-7 \\ \\ -25 \neq -7$

- 25 é diferente de - 7 que é o termo independente da equação geral do plano, então significa que a reta em nenhum momento estará contida no plano, qualquer que seja os valores de m. Isso implica dizer que a reta só pode ser paralela, concorrente ou ortogonal ao plano.

c)

Qualquer valor de m diferente de 5 faz a reta tocar o plano em algum ponto.

2 - 

$r: \left[\begin{array}{ccc} \pi_{1}: \, x+2y-z=1\\\\ \pi_{2}: \, 2x-y+z=0\end{array}\right$

Fazendo x = λ, temos:

$r: \left[\begin{array}{ccc}\lambda+2y-z=1\\\\ 2\lambda-y+z=0\end{array}\right$

Cancelando o termo z, temos:

$r: \left[\begin{array}{ccc}\lambda+2y=1\\\\ 2\lambda-y=0\end{array}\right \\ \\ \\ 3\lambda+2y=1 \\ \\ y=1-3\lambda$

Se y = 1 - 3λ e x = λ temos:

$x+2y-z=1 \\ \\ \lambda+2 \cdot (1-3\lambda)-z=1 \\ \\ \lambda+2-6\lambda-z=1 \\ \\ -5\lambda+2-z=1 \\ \\ -z=1-2+5\lambda \\ \\ -z=-1+5\lambda \\ \\ z=1-5\lambda$

Então, uma equação paramétrica e vetorial da reta interseção dos planos π1 e π2 é:

$r: \left[\begin{array}{ccc}x=\lambda\\y=1-3\lambda\\z=1-5\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ r: \, x=(0,1,1)+\lambda(1,-3,-5)$

Primeiramente teremos que determinar a equação de um plano que contenha o ponto A e forme um ângulo de 90º com a reta r, ou seja, podemos usar o vetor diretor da reta r como vetor normal do plano. Vamos agora utilizar a fórmula que segue, com o ponto A = (1,0,1) e n = (1,-3,-5).

$\boxed{\boxed{AX \cdot n = 0}} \\ \\ \cdots \cdots \\ \\ AX=X-A \\ \\ AX=(x,y,z)-(1,0,1) \\ \\ AX=(x-1,y,z-1) \\ \\ \cdots \cdots \\ \\ AX \cdot n = 0 \\ \\ (x-1,y,z-1) \cdot (1,-3,-5)=0 \\ \\ \boxed{\boxed{\pi: \, x-3y-5z+4=0}}$

Agora podemos encontrar a interseção entre a reta r e o novo plano que acabamos de elaborar. Daí usando essa interseção e o ponto A podemos montar a equação da reta que o problema está exigindo.

$\displaystyle r: \left[\begin{array}{ccc}x=\lambda\\y=1-3\lambda\\z=1-5\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ \pi : x-3y-5z+4=0 \\ \\ \cdots \cdots \\ \\ x-3y-5z+4=0 \\ \\ \lambda-3 \cdot (1-3\lambda)-5 \cdot (1-5\lambda)+4=0 \\ \\ \lambda-3+9\lambda-5+25\lambda+4=0 \\ \\ \lambda= \frac{4}{35}$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x=\lambda\\y=1-3\lambda\\z=1-5\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}x=\displaystyle \frac{4}{35}\\ \\ y=1-3\cdot \displaystyle \frac{4}{35}\\ \\ z=1-5\cdot \displaystyle \frac{4}{35} \end{array}\right \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}x=\displaystyle \frac{4}{35}\\ \\ y= \displaystyle \frac{23}{35}\\ \\ z=\displaystyle \frac{3}{7} \end{array}\right$

A interseção ocorre em B = ( 4/35 , 23/35 , 3/7). Agora já podemos montar a equação vetorial da reta que o problema pede com o ponto A e B.

$\displaystyle A=(1,0,1) \\ \\ B=(\frac{4}{35},\frac{23}{35},\frac{3}{7}) \\ \\ \\ v=AB \\ \\ v=B-A \\ \\ v=(-\frac{31}{35},\frac{23}{35},-\frac{4}{7}) \\ \\ \\ \boxed{\boxed{s: \, x=(1,0,1)+\lambda(-\frac{31}{35},\frac{23}{35},-\frac{4}{7})}}$

Essa reta atende à todos os requisitos e intercepta a reta r em B = ( 4/35 , 23/35 , 3/7) e forma um ângulo de 90º com ela. Pode verificar multiplicando os vetores diretores dessas duas retas e verá que será igual a zero.

Lembrando que poderá usar qualquer método para encontrar o determinante das matrizes.