Question

reta r que passa pelo ponto a(5, -1, 3) e cujo vetor diretor é ortogonal ao vetor u= ( 2, -1, 1)​

Answer 1

Resposta:

Equações paramétricas da reta:

$x=5$

$y=-1+t$

$z=3+t$

com $t\in \mathbb{R}$.

Explicação passo-a-passo:

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Definição: Dois vetores $u$ e $v$ são ortogonais, se e somente se, seu produto escalar for zero.

__________

Considere o vetor $v=(x,y,z)$. Suponha que $u=(2,-1,1)$ é ortogonal à $v$, então, temos:

$u\cdot v=0$

$(2,-1,1)\cdot (x,y,z)=0$

$2\cdot x-1\cdot y+1\cdot z=0$

$2x-y+z=0$

.

Existem diversos vetores que satisfazem esta condição, eu vou escolher:

$x=0$

$y=1$

$z=1$

.

Note que:

$2\cdot 0-1+1=0$

.

Assim, nosso vetor será:

$v=(0,1,1)$

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Definição: As equações paramétricas de uma reta $r$ no espaço, que passa pelo ponto $A(x_1,y_1,z_1)$ e tem vetor diretor $v(a,b,c)$, são:

$x=x_1+at$

$y=y_1+bt$

$z=z_1+ct$

com $t\in \mathbb{R}$.

__________

Nossa reta $r$ passa pelo ponto $A(5,-1,3)$ e tem vetor diretor $v=(0,1,1)$. Assim suas equações paramétricas são:

$x=5$

$y=-1+t$

$z=3+t$

com $t\in \mathbb{R}$.

.

Obs.: Existem infinitos vetores ortogonais ao vetor dado, então existem infinitas retas que são ortogonais à este vetor. Esta é apenas uma das soluções.