Question

Resposta é a letra B, porém, gostaria de saber como chegou a esse valor.

Answer 1

A raiz da razão é a razão das raízes:

$\boxed{\boxed{\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}},~~~\dfrac{x}{y}\ge0,y\neq0}}$

Quadrado da soma de dois termos:

$\boxed{\boxed{(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}}$

Definição de módulo:

$\boxed{\boxed{|x|=\sqrt{x^{2}}=\begin{cases}~~x,~se~x~\ge0\\-x,~se~x~\textless~0\end{cases}}}$
_____________________________________

$\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}$

Vamos somar as frações. Um múltiplo comum entre a² e b² e 1 é a²b², então vamos deixar as frações nesse mesmo denominador:

$\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{a^{2}\cdot a^{2}}{b^{2}\cdot a^{2}}+\dfrac{b^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}\cdot b^{2}}+\dfrac{2\cdot a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}\cdot b^{2}}}\\\\\\\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{a^{4}}{a^{2}b^{2}}+\dfrac{b^{4}}{a^{2}b^{2}}+\dfrac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}}\\\\\\\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{a^{4}+b^{4}+2a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}}$

Reescrevendo o numerador e o denominador:

$\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}}{(ab)^{2}}}\\\\\\\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{(a^{2})^{2}+2\cdot a^{2}\cdot b^{2}+(b^{2})^{2}}{(ab)^{2}}}$

Veja que temos um quadrado da soma expandido no numerador:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Sendo x = a² e y = b², temos

$(a^{2}+b^{2})^{2}=(a^{2})^{2}+2\cdot a^{2}\cdot b^{2}+(b^{2})^{2}$

Então:

$\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\dfrac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{(ab)^{2}}}\\\\\\\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\dfrac{\sqrt{(a^{2}+b^{2})^{2}}}{\sqrt{(ab)^{2}}}\\\\\\\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\dfrac{|a^{2}+b^{2}|}{|ab|}$

Como a² > 0 e b² > 0, a² + b² > 0, então |a² + b²| = a² + b²
Da mesma forma, a > 0 e b > 0, então ab > 0, logo |ab| = ab

$\boxed{\boxed{\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}}}$

Answer 2

Observe o enunciado.