Question

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Answer 1

Resposta:

$A = 35\textrm{ m}^2.$

Explicação passo-a-passo:

Se $x'$ e $x''$ as soluções de uma equação de 2.ª ordem da forma $x^2 - Sx + P = 0$, então sabe-se que:

$\displaystyle\begin{cases}P = x' x'' \\ S = x'+x''\end{cases}.$

Portanto, neste caso,  a área é dada pelo produto:

$A = P = x'x'' = 35\textrm{ m}^2.$

→ Para mostrar que de facto as relações acima são verdadeiras, tem-se:

$x^2-Sx+P = 0 \iff x = \dfrac{S\pm\sqrt{S^2-4P}}{2}.$

Arbitremos então que:

$x' = \dfrac{S+\sqrt{S^2-4P}}{2} \qquad\textrm{e}\qquad x'' = \dfrac{S-\sqrt{S^2-4P}}{2}.$

Fica então claro que:

$x'+x'' = \dfrac{S+\sqrt{S^2-4P}}{2} + \dfrac{S-\sqrt{S^2-4P}}{2} = \dfrac{2S}{2} = S.$

Além disso, obtém-se ainda o produto:

$x'x'' = \dfrac{S+\sqrt{S^2-4P}}{2} \times \dfrac{S-\sqrt{S^2-4P}}{2} =\dfrac{S^2- (S^2-4P)}{4} = \dfrac{4P}{4} = P,$

tendo-se utilizado o caso notável da diferença de quadrados:

$(a+b)(a-b) = a^2-b^2,$

com

$a = S \qquad\textrm{e}\qquad b = \sqrt{S^2-4P}.$