Question

Responda com os cálculos!

Answer 1

Resolvendo cada questão, obtemos:

• 6. alternativa b) - 2/3;
• 7. alternativa c) 2,3;
• 8. alternativa d) 50 anos;
• 9. alternativa a) 1 e 7;
• 10. alternativa a) 20 horas.

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Equações exponenciais.

A ideia de resolver esse tipo de equação é deixar as bases das potências iguais em ambos os membros a fim de igualar seus expoentes para encontrar o valor das incógnitas. Observe:

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Questão 6.

Note que 0.01 = 1/100 e 0.001 = 1/1000, então 1/100 = 100⁻¹ e 1/1000 = 1000⁻¹ (que é o inverso). Assim:

$\begin{array}{l}(0.01)^{x+1}=(0.001)^{x^2-x}\\\\(100^{-1})^{x+1}=(1000^{-1})^{x^2-x}\\\\100^{-x-1}=1000^{-x^2+x}\\\\(10^2)^{-x-1}=(10^3)^{-x^2+x}\\\\ \ \diagdown\!\!\!\!\!\!10^{-2x-2}=\ \diagdown\!\!\!\!\!\!10^{-3x^2+3x}\\\\-2x-2=-3x^2+3x\\\\3x^2-2x-2-3x=0\\\\3x^2-5x-2=0\end{array}$

Resolvendo essa equação por fatoração, obtemos:

$\begin{array}{l}3x^2\underbrace{-\:5x}_{x-6x}-2=0\\\\3x^2+x-6x-8=0\\\\x(3x+1)-2(3x+1)=0\\\\(x-2)(3x+1)=0\\\\\begin{cases}x-2=0~\Rightarrow~x_1=2\\\\\vee\\\\3x+1=0~\Rightarrow~x_2=-\:\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{array}$

Se a questão quer saber o produto das raízes, calculando teremos:

$\begin{array}{l}x_1x_2=2\cdot\bigg(\!\!\!-\dfrac{1}{3}\bigg)=-\:\dfrac{2}{3}\end{array}$

Resposta: alternativa b) - 2/3.

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Questão 7.

Se foi-nos dado os valores de alguns logaritmos, vamos fatorar o logaritmando de log240 a fim de encontrar seu valor:

$\begin{array}{l}log240=log(2\times2\times2\times2\times3\times5)\\\\log240=log(2^4\times3\times5)\\\\log240=log2^4+log3+log5\\\\log240=4\times log2+log3+log5\\\\log240=4\times0.3+0.4+0.7\\\\log240=1.2+1.1\\\\log240=2.3\end{array}$

Então basicamente, após fatorar 240 usamos as propriedades$log(a\times b)=loga+logb$ e $log(a^b)=b\times loga$, e por fim substituímos os valores fornecidos pelo enunciado.

Resposta: alternativa c) 2,3

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Questão 8.

Sabemos que a função $S=S_o\times4^{-0.05t}$ representa a quantidade ainda não desintegrada de uma certa substância, onde Sₒ: valor inicial e t: tempo em anos. Para calcular o tempo t de modo que essa substância fica reduzida a sua trigésima segunda parte em relação ao valor inicial, podemos fazer S = Sₒ/32, assim:

$\begin{array}{l}\dfrac{S_o}{32}=S_o\times4^{-0.05t}\\\\S_o\cdot\dfrac{1}{S_o}=(2^2)^{-0.05t}\times32\\\\1=2^{-0.1t}\times2^5\\\\\diagdown\!\!\!\!2^0=\diagdown\!\!\!\!2^{-0.1t+5}\\\\0=-0.1t+5\\\\0.1t=5\\\\t=\dfrac{5}{0.1}\\\\t=50\end{array}$

Resposta: alternativa d) 50 anos.

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Questão 9.

Para calcular essa eq. exponencial é o mesmo esquema da questão 6.:

$\begin{array}{l}2^{x^2-8x}=\dfrac{1}{128}\\\\2^{x^2-8x}=128^{-1}\\\\2^{x^2-8x}=(2^7)^{-1}\\\\\diagdown\!\!\!\!2^{x^2-8x}=\diagdown\!\!\!\!2^{-7}\\\\x^2-8x=-7\\\\x^2-8x+7=0\\\\x^2-x-7x+7=0\\\\x(x-1)-7(x-1)=0\\\\(x-1)(x-7)=0\\\\\begin{cases}x-1=0~\Rightarrow~x_1=1\\\\\vee\\\\x-7=0~\Rightarrow~x_2=7\end{cases}\end{array}$

Resposta: alternativa a) 1 e 7.

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Questão 10.

A função $n(t)=1000\times2^{0.35t}$ expressa a quantidade de microrganismos de um recipiente em função do tempo t. Para determinar o tempo em que terá 128000 microrganismos nesse recipiente podemos fazer n(t) = 128000 e calcular para t:

$\begin{array}{l}128000=1000\times2^{0.35t}\\\\\dfrac{128000}{1000}=2^{0.35t}\\\\128=2^{0.35t}\\\\\diagdown\!\!\!\!2^7=\diagdown\!\!\!\!2^{0.35t}\\\\7=0.35t\\\\t=\dfrac{7}{0.35}\\\\t=20\end{array}$

Resposta: alternativa a) 20 horas.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.