Matemática, perguntado por santosriquelme52, 6 meses atrás

responda à pergunta do Diogo para quais valores de m a equação x potência 2 + m + 1 - 3 = 0 de incógnita x terá duas raízes reais e Opostas
${x}^{2} + ( m + 1) - 3$

solkarped: Favor REVISAR a montagem da equação. Provavelmente ela está montada ERRADA.

marciocbe: Errei o sinal. Mas já ta em moderação, não tem como editar.

Soluções para a tarefa

Respondido por albertrieben

Resposta:

m ≤ 2

Explicação passo a passo:

x² + m + 1 - 3 = 0

x² = 2 - m

x1 = √(2 - m)

x2 = -√(2 - m)

2 - m ≥ 0

2 ≥ m

m ≤ 2

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro de "m" para que a referida equação do segundo grau tenha raízes simétricas - raízes opostas - é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = -1\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação quadrática:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + (m + 1)x - 3 = 0\end{gathered}$}$

Provinda da função:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2} + (m + 1)x - 3\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\ b = m + 1\\ c = -3\end{cases}$

Para que a referida EQUAÇÃO tenha duas raízes reais e opostas - simétricas - é necessário que o coeficiente do termo de "x" - coeficiente b - seja igual a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b = 0\end{gathered}$}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m + 1 = 0 \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m = -1 \end{gathered}$}$

De fato, quando:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m = -1\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:b = 0\end{gathered}$}$

Nesta situação, o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo das ordenadas.

Prova:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m = -1\end{gathered}$}$

Calculando as raízes:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-(-1 + 1) \pm\sqrt{(-1 + 1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\pm\sqrt{0 + 12}}{2} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\pm\sqrt{12}}{2} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\pm2\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{3}\end{gathered}$}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}\end{gathered}$}$

Observação 1: A questão pediu o valor de do parâmetro "m" para que e referida EQUAÇÃO tenha duas raízes reais e opostas. Então o valor do parâmetro é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m = -1 \end{gathered}$}$

Observação 2: Agora, se a questão quisesse saber os possíveis valores do parâmetro "m" para que a FUNÇÃO do segundo grau tenha raízes simétricas, a abordagem seria diferente. Nesta caso teríamos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b + c \le 0\end{gathered}$}$