Question

Responda a integral e informe se ela diverge ou converge:

Answer 1

Para que serve a Integral?

A integral é uma função criada para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano, não só para isso a integral tambem funciona para diversos outros casos.

Como fazer para saber se a integral é ou não convergente.

A integral é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1. f(x)dx, quando o limite da direita existe (como um número).

Como Calcular a integral.

$\int {}^{ \infty } _{e} \: \frac{1}{x( ln(x) {}^{3} )} dx$

Para avaliar o integral impróprio, os definição, reescreva Usando o limite integral abaixo.

Sendo assim...

$lim_{a→ \infty } (\int {}^{ a } _{e} \: \frac{1}{x \times ln(x) {}^{3} } dx)$

Calcule a integral definida.

Sendo assim...

$lim_{a→ \infty } (\int {}^{ a } _{e} \: - \frac{1}{2 ln(a) {}^{2} } + \frac{1}{2} )$

Calcule o limite.

Sendo assim...

$\blue{\boxed{\boxed{\boxed{\frac{1}{2}}}}}$

Resposta → A integral converge.

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{Esta~integral~converge~e~seu~resultado~\'e~\dfrac{1}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral e avaliar se ela diverge ou converge:

$\displaystyle{\int_e^{\infty}\dfrac{1}{x\cdot(\ln x)^3}\,dx$

Primeiro, calcule a potência

$\displaystyle{\int_e^{\infty}\dfrac{1}{x\cdot\ln^3x}\,dx$

Então, separe a fração como um produto de frações

$\displaystyle{\int_e^{\infty}\dfrac{1}{\ln^3x}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$

Faça uma substituição $u=\ln x$. Ao derivarmos ambos os lados em relação a $x$, obteremos o diferencial $du$:

$u'=(\ln x)'$

Sabendo que $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$, teremos:

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$

$du=\dfrac{1}{x}\,dx$

Veja que este elemento já faz parte da integral. Lembre-se que devemos também substituir os limites de integração: quando $x\rightarrow e,~u\rightarrow \ln e = 1$ e quando $x\rightarrow \infty,~u:\underset{x\rightarrow\infty}\lim \ln x=\infty$.

Assim, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_1^{\infty}\dfrac{1}{u^3}\,du$

Para calcular esta integral, lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^n}\,dx=\dfrac{x^{1-n}}{1-n}$, logo

$\dfrac{u^{1-3}}{1-3}~\biggr|_1^{\infty}$

Some os valores e lembre-se que $a^{-n}\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^n}$

$\dfrac{u^{-2}}{-2}~\biggr|_1^{\infty}$

$-\dfrac{1}{2u^2}~\biggr|_1^{\infty}$

Então, aplique os limites de integração, sabendo que de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a integral definida de uma função contínua e integrável em um dado intervalo $[a,~b]$ é: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada da função e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Assim, teremos

$\underset{u\rightarrow\infty}\lim -\dfrac{1}{2u^2}-\left(-\dfrac{1}{2\cdot 1^2}\right)$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{1}{x^n}=0,~\forall{n}>1$, calcule a potência e multiplique os valores

$0-\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

Some os valores

$\dfrac{1}{2}$

Esta integral converge e este é seu resultado.